椭圆内接四边形面积最值P.Q.M.N四点都在椭圆x^2+y^2/4上,F为椭圆在y轴正半轴焦点,已知PQ垂直于MN垂足为F,求四边形PQMN面积最大值和最小就是刚才那道题~~题目没说清楚
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/02 13:48:08
椭圆内接四边形面积最值P.Q.M.N四点都在椭圆x^2+y^2/4上,F为椭圆在y轴正半轴焦点,已知PQ垂直于MN垂足为F,求四边形PQMN面积最大值和最小就是刚才那道题~~题目没说清楚
椭圆内接四边形面积最值
P.Q.M.N四点都在椭圆x^2+y^2/4上,F为椭圆在y轴正半轴焦点,已知PQ垂直于MN垂足为F,求四边形PQMN面积最大值和最小
就是刚才那道题~~题目没说清楚
椭圆内接四边形面积最值P.Q.M.N四点都在椭圆x^2+y^2/4上,F为椭圆在y轴正半轴焦点,已知PQ垂直于MN垂足为F,求四边形PQMN面积最大值和最小就是刚才那道题~~题目没说清楚
椭圆方程x^2+y^2/4=1
F(0,c) a=2,b=1,c=√3
M(x1,y1),N(x2,y2）,P(x3,y3) Q(x4,y4)
当MN,PQ分别平行于坐标轴时不妨设MN∥x轴
MN=1,PQ=4,面积S=2.
除此而外,
设MN：y=kx+c,PQ：y=(-1/k)x+c
MN与椭圆组成方程组
4x^2+y^2=4
4x^2+k^2*x^2+2ckx+c^2=4
4x^2+k^2*x^2+2ckx-1=0
(4+k^2)x^2+2ckx-1=0
Δ=12k^2+16+4k^2=16(1+k^2)
|MN|=[√(1+k^2)]*|x1-x2|
|x1-x2|=[√Δ]/|a|8
|MN|=[√(1+k^2)]*|x1-x2|=[√(1+k^2)]*|4*[√(1+k^2)]/[4+k^2]
=4(1+k^2)/[4+k^2]
同理
PQ=4[1+k^(-2]/[4+k^(-2)]
= 4(k^2+1)/(4*k^2+1)
面积S=(1/2)*MN*PQ
=(1/2) * 4(1+k^2)/[4+k^2]*4(k^2+1)/(4*k^2+1)
=8*(1+K^2)^2/[(4+k^2)(4K^2+1)]
(1+K^2)^2/[(4+k^2)(4K^2+1)]
=(1+K^2)^2/[4+17k^2+4k^4]
=(1+k^2)^2/[4(1+k^2)^2+9k^2]
=1/[4+9k^2/(1+k^2)^2]
1+k^2≥2k
(1+k^2)^2≥4k^2
k^2/(1+k^2)^2≤1/4
0≤9k^2/(1+k^2)^2≤9/4
4≤4+9k^2/(1+k^2)^2≤25/4
所以4/25≤1/[4+9k^2/(1+k^2)^2]≤1/4
k=1 时,有最小值32/25,k=0时,PQ的斜率不存在,前面已有S=2
32/25≤S≤2
附记：四边形对角线互相垂直时,面积=1/2乘以对角线长度的积.
方程：ax^2+bx+c=0的两根x1,x2,|x1-x2|=(√ Δ)/|a|
直线 y=kx+b上两点A(x1,y1),B(x2,y2)距离AB=|x1-x2|√Δ