已知正数a1,a2,a3...an满足a1*a2*a3*...*an=1.求证：(2+a1)*(2+a2)*(2+a3)*...*(2+an)>=3^n
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/06 12:08:26
已知正数a1,a2,a3...an满足a1*a2*a3*...*an=1.求证：(2+a1)*(2+a2)*(2+a3)*...*(2+an)>=3^n
已知正数a1,a2,a3...an满足a1*a2*a3*...*an=1.求证：(2+a1)*(2+a2)*(2+a3)*...*(2+an)>=3^n
已知正数a1,a2,a3...an满足a1*a2*a3*...*an=1.求证：(2+a1)*(2+a2)*(2+a3)*...*(2+an)>=3^n
2+a1=1+1+a1>=3*三次根号下1*1*a1
=3*三次根号下a1,
2+a2>=3*三次根号下a2,
2+a3>=3*三次根号下a3,
.
.
.
2+an>=3*三次根号下an,
以上n个式子相乘,得
(2+a1)*(2+a2)*(2+a3)*...*(2+an)
>=3^n*三次根号下a1*a2*a3*...*an
=3^n
用数学归纳法
1.当n=1时 a1=1 2+a1=3>=3成立
2.当n=k时 假设 a1*a2*a3*...*ak=1则(2+a1)*(2+a2)*(2+a3)*...*(2+ak)>=3^k成立
则当n=k+1时 a1*a2*a3*...*ak*ak+1=1 =>ak+1=1（这里的ak+1中k+1为下标）
有(2+a1)*(2+a2)*(2+a3)*...*(...
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用数学归纳法
1.当n=1时 a1=1 2+a1=3>=3成立
2.当n=k时 假设 a1*a2*a3*...*ak=1则(2+a1)*(2+a2)*(2+a3)*...*(2+ak)>=3^k成立
则当n=k+1时 a1*a2*a3*...*ak*ak+1=1 =>ak+1=1（这里的ak+1中k+1为下标）
有(2+a1)*(2+a2)*(2+a3)*...*(2+ak)*（2+ak+1）>=3^k+1
即2+ak+1>=3
因为ak+1=1>=1
所以成立
由1 2成立 得：(2+a1)*(2+a2)*(2+a3)*...*(2+an)>=3^n成立
收起
最简单的，反证法啊