X平方加Y方加XY＝1,求X方加Y方最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 23:08:57
X平方加Y方加XY＝1,求X方加Y方最大值
X平方加Y方加XY＝1,求X方加Y方最大值
X平方加Y方加XY＝1,求X方加Y方最大值
因为（x+y)^2>=0;
即xy>=-(x^2+y^2)/2
所以x^2+y^2+xy=1>=x^2+y^2-(x^2+y^2)/2
=(x^2+y^2)/2
所以(x^2+y^2)/2<=1;
x^2+y^2最大为2;
当x=-y=1或者-1时成立.
x^2+y^2=1-xy>=2xy，所以,xy<=1/3
那么x^2+y^2<=1-1/3=2/3
设x=a+b,y=a-b
则已知(a+b)^2+(a-b)^2+(a+b)(a-b)=1
即3a^2+b^2=1
要求x^2+y^2=2(a^2+b^2)的最大值
把a^2=(1-b^2)/3代入上式知道
x^2+y^2=2(1+2b^2)/3
而b^2的取值范围是[0,1]
所以x^2+y^2的最大值是2*3/3=2
取到该值的条件是b^2=1，即a^2=0，x=-y=正负1
x^2+y^2+xy=1;
xy<=(x^2+y^2)/2;
so 1=x^2+y^2+xy<=3/2*(x^2+y^2)
so x^2+y^2>=2/3;当且仅当x=y=根号三的倒数。
作拉格郎日函数：
F＝x²+y²+a（x²+xy+y²－1）.求聚点，F对x,y,a的偏导数皆为0.
Fx＝2x+2ax+ay＝0.
Fy＝2y+2ay+ax＝0.
即（2+2a）x+ay＝0,
ax+（2+2a）y＝0,
有非零解，（2+2a）²－a²＝0,a1＝-2/3,a2=-...
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作拉格郎日函数：
F＝x²+y²+a（x²+xy+y²－1）.求聚点，F对x,y,a的偏导数皆为0.
Fx＝2x+2ax+ay＝0.
Fy＝2y+2ay+ax＝0.
即（2+2a）x+ay＝0,
ax+（2+2a）y＝0,
有非零解，（2+2a）²－a²＝0,a1＝-2/3,a2=-2.得x＝-y,或者x=y.
x=-y时。x²+xy+y²=1=x²，y²=x²=1.x²+y²=2.
x=y时。x²+xy+y²=1=3x²，x²=1/3,y²=x²=1/3.x²+y²=2/3.
所以x²+y²=2.为最大值。
收起
x^2+y^2+xy=1
(x+y)^2=1+xy>=0
xy>=-1
x^2+y^2<=2, 当x和y一个取1一个取-1时得到
x^2+y^2+xy=1>=-2xy+xy=-xy（当且仅当x=-y=+-1取等号）
xy=<-1,（当且仅当x=-y=+-1取等号）
x^2+y^2=1-xy=<2（当且仅当x=-y=+-1取等号）