设a,b,c是实数,满足abc=1,证明:2a-(1/b),2b-(1/c),2c-(1/a)中最多有两个数大于1
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/24 07:06:51
设a,b,c是实数,满足abc=1,证明:2a-(1/b),2b-(1/c),2c-(1/a)中最多有两个数大于1
设a,b,c是实数,满足abc=1,证明:2a-(1/b),2b-(1/c),2c-(1/a)中最多有两个数大于1
设a,b,c是实数,满足abc=1,证明:2a-(1/b),2b-(1/c),2c-(1/a)中最多有两个数大于1
由 abc=1,可知a,b,c中可以有两个是负数,此时结论显而易见,以下证明三个均为正数时的情况用反证法
假设2a-(1/b)=2a-ac>1,2b-(1/c)=2b-ab>1,2c-(1/a)=2c-bc>1
就2a-ac>1则:1-2a+ac<0,现在考虑一个抛物线:y=x²-2ax+ac
因为x=1代入抛物线式子中有y=1-2a+ac<0
所以该抛物线经过x轴下方一点,所以开口向上抛物线与x轴必有两个不同交点,△>0
所以4a²-4ac>0 ,
a²>ac
同理b²>ab
c²>bc
三个式子相乘:
a²b²c²>a²b²c²
即1>1
不成立,矛盾,所以假设错误.
因此2a-(1/b),2b-(1/c),2c-(1/a)中最多有两个数大于1
(简单题只能用初等方法解决,高等方法偏导听不懂,也解决不了)
反证法:假设这三个数都小于等于1
则有
2a-(1/b)+2b-(1/c)+2c-(1/a)<=3
abc=1
2a-(1/b)+2b-ab+2/(ab)-(1/a)<=3
设f(a,b)=2a-(1/b)+2b-ab+2/(ab)-(1/a)
求二元偏导:f(a)=2-b-2/(a^2b)+1/a^2,f(b)=1/b^2+2-a-2/(ab^2)...
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反证法:假设这三个数都小于等于1
则有
2a-(1/b)+2b-(1/c)+2c-(1/a)<=3
abc=1
2a-(1/b)+2b-ab+2/(ab)-(1/a)<=3
设f(a,b)=2a-(1/b)+2b-ab+2/(ab)-(1/a)
求二元偏导:f(a)=2-b-2/(a^2b)+1/a^2,f(b)=1/b^2+2-a-2/(ab^2)
令f(a)=0,f(b)=0,解出a,b的值,代入f(a,b)证明此值大于三即可
说简单点就是:证明f(a,b)的最小值大于3即可
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