数学高手进!已知a+b+c=1求证ab+bc+ac小于等于三分之一
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 08:09:51
数学高手进!已知a+b+c=1求证ab+bc+ac小于等于三分之一
数学高手进!已知a+b+c=1求证ab+bc+ac小于等于三分之一
数学高手进!已知a+b+c=1求证ab+bc+ac小于等于三分之一
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1 由基本不等式 a^2+b^2>=2ab a^2+c^2>=2ac b^2+c^2>=2bc 所以2a^2+2b^2+2c^2>=2ab+2bc+2ac 即 2>=6ab+6ac+6bc 所以ab+bc+ac
1^2 = (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca
>= 3ab + 3bc + 3ca
即:ab + bc + ca <= 1/3
a+b+c=1
(a+b+c)^2 = 1
a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac = 1..........(1)
又因为(a - b)^2 + (b - c)^2 +(a - c)^2 >= 0
a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ac ..............(2)
把(2)代入(1)得 ...
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a+b+c=1
(a+b+c)^2 = 1
a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac = 1..........(1)
又因为(a - b)^2 + (b - c)^2 +(a - c)^2 >= 0
a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ac ..............(2)
把(2)代入(1)得
3(ab + bc + ac )<= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac = 1
即 3(ab + bc + ac )<= 1
则 ab + bc + ac <= 1/3
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