已知X>0,Y>0,X+Y=1 ,求证（1+1/X）（1+1/Y）>=9
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 15:11:20
已知X>0,Y>0,X+Y=1 ,求证（1+1/X）（1+1/Y）>=9
已知X>0,Y>0,X+Y=1 ,求证（1+1/X）（1+1/Y）>=9
已知X>0,Y>0,X+Y=1 ,求证（1+1/X）（1+1/Y）>=9
由 x+y=1
(1+1/x)(1+1/y) = [1+(x+y)/x][1+(x+y)/y] = (2 + y/x)(2 + x/y) =
4 + 1 + 2(x/y + y/x) = 5 + 2(x/y + y/x)
另一方面,
(x/y + y/x) = (x^2 + y^2)/xy >= 2
because x^2 + y^2 >= 2xy
so,5 + 2(x/y + y/x) >= 5+4 = 9
(1+1/x)(1+1/y)=1+1/x+1/y+1/xy=1+(x+y+1)/xy=1+2/xy
又x+y=1,故xy≤1/4，所以1+2/xy≥1+2*4=9
故:(1+1/x)(1+1/y)≥9
x+y≥2√(xy)
xy≤1/4
(1+1/x)(1+1/y)
=1+1/x+1/y+1/xy
=1+(x+y)/xy+1/xy
=1+2/xy
≥1+2/(1/4)
=9
将原式展开得1+1/x+1/y+(x+y)/xy=1+2/xy,因为xy<=(x+y)^2/4=1/4所以xy>=4
原式>=9
[(x+1)/x][(1+y)/y]=(x+y+xy+1)/xy=(2+xy)/xy=2/xy+1
当x=y=1/2时 xy最大=1/4 所以结果>=9
（1+1/X)(1+1/Y）
=(1+(x+y)/x)1+(x+y)/y)
=(2+y/x)(2+x/y)
=5+2(x/y+y/x)
>=5+2*2sqrt(x/y*y/x)
=9
因为 x>0, y>0 所以1=x+y大于等于2根号下xy 所以 根号下xy小于等于 二分之一 ，xy小于等于四分之一 则 （1+1/X）（1+1/Y）=1+1/X+1/Y+1/XY=1+[（x+y+1）/(xy)]=1+2/(xy)大于等于1+8=9