已知函数f（x）=lnx-px+1（p∈R）．（1）p=1时,求曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值；（3）若对任意的,恒有f（x）≤p2x2,求实数p的取值范围．
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 07:26:19
已知函数f（x）=lnx-px+1（p∈R）．（1）p=1时,求曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值；（3）若对任意的,恒有f（x）≤p2x2,求实数p的取值范围．
已知函数f（x）=lnx-px+1（p∈R）．
（1）p=1时,求曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值；
（3）若对任意的,恒有f（x）≤p2x2,求实数p的取值范围．
已知函数f（x）=lnx-px+1（p∈R）．（1）p=1时,求曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值；（3）若对任意的,恒有f（x）≤p2x2,求实数p的取值范围．
1.p=1
f(x)=lnx-x+1
f`(x)=1/x-1
f(1)=0-1+1=0
f`(1)=1-1=0
切点为(1,0)
切线斜率=0
切线方程y=0（即x轴）
2.f(x)=lnx-px+1
f`(x)=1/x-p
f(x)的定义域是x>0
当p<=0时
f`(x)恒>=0
f(x)在(0,+∞)上单调增,无极值
当p>0时
令f`(x)=0
1/x=p
x=1/p
此为极大值点
f（x）的极大值=ln(1/p)-1+1=-lnp
没有极小值
3,lnx-px+1<=p^2x^2
p^2x^2+px-lnx-2>=0
设g(x)=p^2x^2+px-lnx-2在（0,+∞）恒>=0
g`(x)=2p^2x+p-1/x
=(2p^2x^2+px-1)/x
=(2px-1)(px+1)/x
p=0时
g(x)=-lnx-2不满足在（0,+∞）恒>=0
p≠0时
当p>0
g`(x)=(2px-1)(px+1)/x>=0
x<=-1/p或x>=1/(2p)
∴g(x)在x=1/(2p)有极小值
x>0
∴x=1/(2p)是最小值点
g(1/(2p))=p^2*1/(4p^2)+1/2-ln(1/2p)-2>=0
ln(2p)>=5/4
2p>=e^(5/4)
p>=1/2e^(5/4)
当p<0时
g`(x)=(2px-1)(px+1)/x>=0
x<=1/(2p)或x>=-1/p
x>0
∴x=-1/p是最小值点
g(1/p)=p^2*1/(p^2)+1/2-ln(1/2p)-2>=0
ln(-p)>=2
-p>=e^2
p<=-e^2
综上实数p的取值范围p<=-e^2或p>=1/2e^(5/4)
如果本题有什么不明白可以追问,如果满意记得采纳
大学生啊···
1）p=1是f(x)=lnx-x+1
f'(x)=1/x-1
可以求出斜率
2）求极值即f'(x)=0时X的值代进去
3）其实有点看不明白你的问题···但是估计也跟f'(x)有关
我太久没有学这个了，所以不怎么记得了···仅供参考