高等数学导数的应用证明方程4x=2^x在(0,1)内有且仅有一实根.这道题的过程是:先用零值定理证出函数在(0,1)区间内至少存在一个实根. 然后在求函数的一阶导判断其
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/01/13 12:07:52
高等数学导数的应用证明方程4x=2^x在(0,1)内有且仅有一实根.这道题的过程是:先用零值定理证出函数在(0,1)区间内至少存在一个实根. 然后在求函数的一阶导判断其
高等数学导数的应用
证明方程4x=2^x在(0,1)内有且仅有一实根.
这道题的过程是:先用零值定理证出函数在(0,1)区间内至少存在一个实根.
然后在求函数的一阶导判断其单调性.证出函数的一阶导大于0
说明他是一个单调递增的函数.最后得证函数在(0,1)区间内有
且仅有一个实根.
这道题我不明白两点
1. 为什么证出函数是单调增的就能得出函数在(0,1)区间有且仅有一根是
根
2.如果证出函数要是单调递减的还能说明有且仅有一个实根么!
高等数学导数的应用证明方程4x=2^x在(0,1)内有且仅有一实根.这道题的过程是:先用零值定理证出函数在(0,1)区间内至少存在一个实根. 然后在求函数的一阶导判断其
1.令f(x)=4x-2^x已经证明该函数单调递增,有一个根,设根为a(那么f(a)=0),则a属于(0,1)
则,当x在(0,a)上f(x)<0,在(a,1)上f(x)>0.因此只有f(a)=0一个根
2.能.只要是单调的函数就行.证明同上,只不过这时候,当x在(0,a)上f(x)>0;在(a,1)上f(x)<0
单调性保证唯一性的证明
反证法:
不妨设这个函数f(x)单增(单减相似的证法)。
若有f(x)=0两根s,t,这里s,t不同,必一大一小,不妨投s
而由f(x)单增有 f(s)
2、单减前面说了,一样能推出至有一实根。
而存在性是由介值定理推...
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单调性保证唯一性的证明
反证法:
不妨设这个函数f(x)单增(单减相似的证法)。
若有f(x)=0两根s,t,这里s,t不同,必一大一小,不妨投s
而由f(x)单增有 f(s)
2、单减前面说了,一样能推出至有一实根。
而存在性是由介值定理推出来的。
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(1)构造辅助函数f(x)=4x - 2^x (0≤x≤1),则f(x)在闭区间[0,1]上连续,且f(0)f(1)=(-1) ×2<0,依零点定理,存在ξ∈(0,1)使得 f(ξ)=0, 即原方程在(0,1)内至少有一个根。
(2)当0
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(1)构造辅助函数f(x)=4x - 2^x (0≤x≤1),则f(x)在闭区间[0,1]上连续,且f(0)f(1)=(-1) ×2<0,依零点定理,存在ξ∈(0,1)使得 f(ξ)=0, 即原方程在(0,1)内至少有一个根。
(2)当0
从第二步可以看出,只要f(x)是单调连续的(无论是递增还是递减),都能证得根的唯一性。
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