证明方程x=cosx+1 在开区间(0,π)内至少有一个根求详解

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 23:04:07
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证明方程x=cosx+1 在开区间(0,π)内至少有一个根求详解
证明方程x=cosx+1 在开区间(0,π)内至少有一个根
求详解

证明方程x=cosx+1 在开区间(0,π)内至少有一个根求详解
证明：
x=cosx+1
设f(x)=cosx-x+1
在区间（0,π）上f(x)是连续函数：
f(0)=1-0+1=2>0
f(π)=-1-π+1=-π

令f(x)=x-cosx-1
易知f'(x)=1+sinx
则f'(x)在区间[0,π]上为增函数
易知f(0)=-2<0，f(π)=π>0
则f(0)f(π)<0
由零点原理知f(x)在区间(0,π)上有唯一零点
即方程x=cosx+1 在区间(0,π)内至少有一个根

证明：设F（x)=x-cosx-1,则F(0)=-2<0,F(π）=π>0,由根的存在定理知，F(x)=0在
(0,π)内至少有一个根，即
方程x=cosx+1 在开区间(0,π)内至少有一个根

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