设数列an的前n项和为Sn,已知ban-2^n=(b-1)Sn.求{an}的通项公式

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 07:50:57
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设数列an的前n项和为Sn,已知ban-2^n=(b-1)Sn.求{an}的通项公式
设数列an的前n项和为Sn,已知ban-2^n=(b-1)Sn.
求{an}的通项公式

设数列an的前n项和为Sn,已知ban-2^n=(b-1)Sn.求{an}的通项公式
2an-2^n=Sn
2a(n-1)-2^(n-1)=S(n-1)
作差2an-2a(n-1)-2^(n-1)=an
an-n*2^n-1=2(a(n-1)-(n-1)*2^(n-1)-1)
所以{an-n*2^n-1}是等比数项,公比为2.
由b*an-2^n=(b-1)Sn 知：
a1=2
b*an-2^n=(b-1)Sn
b*a（n+1）-2^（n+1）=(b-1)S（n+1） ,相减得：
a(n+1)=b*an+2^n
设a(n+1)-k*2^(n+1)=b(an-k*2^n)
把a(n+1)=b*an+2^n 代入：得k=1/(2-b) (b≠2)
{an-1/(2-b)*2^n}为等比数列
an-1/(2-b)*2^n=[2-1/(2-b)*2]b^(n-1)
an=1/(2-b)*2^n+[2-1/(2-b)*2]b^(n-1)
=1/(2-b)*2^n+[(2b-2)/(2-b)*2]b^(n-1)
当b=2时
通过上{an-n*2^(n-1)}是等比为2的等比数列
an-n*2^(n-1)}=（2-1）*2^(n-1)
an=(n+1)2^(n-1)
当b=2 ,an=(n+1)2^(n-1)
当b≠2 ,an=1/(2-b)*2^n+[(2b-2)/(2-b)*2]b^(n-1)

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