关于微分方程隐式通解的问题书上对微分方程的通解中要求是C是任意常数在对可分离变量的微分方程g(y)dy=f(x)dx求出它的隐式通解G(y)=F(x)+C中C也是任意实数,可问题来了：再对G(y)=F(x)+C再求方
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 19:37:14
关于微分方程隐式通解的问题书上对微分方程的通解中要求是C是任意常数在对可分离变量的微分方程g(y)dy=f(x)dx求出它的隐式通解G(y)=F(x)+C中C也是任意实数,可问题来了：再对G(y)=F(x)+C再求方
关于微分方程隐式通解的问题
书上对微分方程的通解中要求是C是任意常数
在对可分离变量的微分方程g(y)dy=f(x)dx求出它的隐式通解G(y)=F(x)+C中C也是任意实数,可问题来了：
再对G(y)=F(x)+C再求方程的解时,书上的例子中的C有些却不是真正的任意实数(比如非0任意实数）,这让我很疑惑
我拿书上的一个例子吧：
解微分方程 dy/dx = -ky ,y>0
方程式可分离变量的,因此有dy/y = -kdx
得出lny = -kx + lnC ,lnC为任意常数
所以lny = -kx + lnC是方程的隐式通解
求出 y = Cln(-kx) ① 为方程的解
我的问题就在①处,通过隐式通解中的lnC是任意常数知道C应该是大于0的任意常数.
不符合微分方程通解的定义啊
难道在这种问题上,只要隐式通解中的常数是任意常数就够了?
关于微分方程隐式通解的问题书上对微分方程的通解中要求是C是任意常数在对可分离变量的微分方程g(y)dy=f(x)dx求出它的隐式通解G(y)=F(x)+C中C也是任意实数,可问题来了：再对G(y)=F(x)+C再求方
实际上我们可以将解写为
lny=-kx+C1
即
y=e^(-kx+C)=e^(C1)*e^(-kx)
其中的C1是任意常数,这意味着它也可以是复数.
由欧拉公式
e^(it)=cost+isint
可以知道①中的C也可以是任意复数
事实上在解微分方程的过程中出现复数是很自然的,就连函数lnx的定义域也可以是复数(当然也可以是负数)
那个，①应该是y=Ce^(-kx)吧
你看书很认真，我看的时候没管这个
我讲讲我的看法
lny = -kx + lnC这个式子本身就有点问题
因为根据ln的定义，y与C必须是正数
但实际上y，C同号就可以了
可以化为ln(y/C)=-kx，得y=Ce^(-kx)
这样的话，对y，C就没有正负的限制了
一般在解微分方程的过程中，不会过多...
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那个，①应该是y=Ce^(-kx)吧
你看书很认真，我看的时候没管这个
我讲讲我的看法
lny = -kx + lnC这个式子本身就有点问题
因为根据ln的定义，y与C必须是正数
但实际上y，C同号就可以了
可以化为ln(y/C)=-kx，得y=Ce^(-kx)
这样的话，对y，C就没有正负的限制了
一般在解微分方程的过程中，不会过多的考虑取值
否则对变量有很大限制
到结果的地方检验下就行了
希望对你有帮助
收起
你自己都说了InC是任意常数，（这也符合原先的定义呀）可能写成InC是为了计算方便吧，这是我现在的理解方式。
其实我现在也非常迷惑着一点，任意常数C为啥非要写成InC的形式，想了想目前这个解释最合理了，希望对你有帮助...