当x趋近于0时,（x/sinx)的（1/sinx)次方的极限是多少?请写详细过程,谢谢
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 11:39:09
当x趋近于0时,（x/sinx)的（1/sinx)次方的极限是多少?请写详细过程,谢谢
当x趋近于0时,（x/sinx)的（1/sinx)次方的极限是多少?请写详细过程,谢谢
当x趋近于0时,（x/sinx)的（1/sinx)次方的极限是多少?请写详细过程,谢谢
令y=(x/sinx)^(1/sinx)
lny=(1/sinx)ln(x/sinx)
lim[x→0] lny
=lim[x→0] (1/sinx)ln(x/sinx)
=lim[x→0] (1/sinx)ln(1+x/sinx-1),这里注意：ln(1+x/sinx-1)等价于x/sinx-1
=lim[x→0] (1/sinx)(x/sinx-1)
=lim[x→0] (x-sinx)/sin²x
=lim[x→0] (x-sinx)/x²
洛必达法则
=lim[x→0] (1-cosx)/(2x)
=lim[x→0] (1/2)x² / (2x)
=0
因此lim[x→0] y = eº = 1
【数学之美】团队为您解答,若有不懂请追问,如果解决问题请点下面的“选为满意答案”.
解答如下：
令y=(x/sinx)^(1/sinx)
lny=(1/sinx)ln(x/sinx)
lim[x→0] lny
=lim[x→0] (1/sinx)ln(x/sinx)
=lim[x→0] (1/sinx)ln(1+x/sinx-1)，这里注意：ln(1+x/sinx-1)等价于x/sinx-1
=lim[x→0] (1/sinx)(x/sinx-1)
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令y=(x/sinx)^(1/sinx)
lny=(1/sinx)ln(x/sinx)
lim[x→0] lny
=lim[x→0] (1/sinx)ln(x/sinx)
=lim[x→0] (1/sinx)ln(1+x/sinx-1)，这里注意：ln(1+x/sinx-1)等价于x/sinx-1
=lim[x→0] (1/sinx)(x/sinx-1)
=lim[x→0] (x-sinx)/sin²x
=lim[x→0] (x-sinx)/x²
洛必达法则
=lim[x→0] (1-cosx)/(2x)
=lim[x→0] (1/2)x² / (2x)
=0
因此lim[x→0] y = eº = 1
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