数列不等式请问：A1=1,A(n+1)=(An)/2+1/An,证明：根号2

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/09 07:26:28
数列不等式请问：A1=1,A(n+1)=(An)/2+1/An,证明：根号2数列不等式请问：A1=1,A(n+1)=(An)/2+1/An,证明：根号2数列不等式请问：A1=1,A(n+1)=(An)

数列不等式请问：A1=1,A(n+1)=(An)/2+1/An,证明：根号2
数列不等式请问：A1=1,A(n+1)=(An)/2+1/An,证明：根号2<(An)/2+1/An<根号2+1/n

数列不等式请问：A1=1,A(n+1)=(An)/2+1/An,证明：根号2
证明：
A1>0,则易从递推公式看出An>0
记sqrt()为开根号,square root
A(n+1)-sqrt(2)=An/2+1/An-sqrt(2)
=(An^2-2sqrt(2)An+2)/(2An)
=(An-sqrt(2))^2/(2An)
前面给出了An>0的结论,还有当An不等于sqrt(2)时,(An-sqrt(2))^2>0,所以：
A(n+1)-sqrt(2)>0
即,类似于数学归纳法：
A1不等于sqrt(2),则A2>sqrt(2)
A2>sqrt(2),则A3>sqrt(2)
...
A(n)>sqrt(2),则A(n+1)=An/2+1/An>sqrt(2)
左边不等式得证.
现在证明右边不等式：
前面证明了An>sqrt(2),n>=2,则：
A(n+1)-sqrt(2)=(An-sqrt(2))^2/(2An)
=(1/2)*[1-(sqrt(2)/An)]*(An-sqrt(2))
由于An>sqrt(2),则1-(sqrt(2)/An)<1,所以：
A(n+1)-sqrt(2)<(1/2)*(An-sqrt(2)) ,n>=2
从而有：
A(n+1)-sqrt(2)<(1/(2^(n-1)))*(A2-sqrt(2))
->A(n+1)注意到3/2-sqrt(2)<1/2,则
A(n+1)显然2^n>n,则1/(2^n)<1/n,n>=1,不等式放缩得：
A(n+1)右边不等式得证

用数学归纳法吧
对于根号2<(An)/2+1/An直接用a+b>=2根号(ab)即可
还有就是不知道根号2+1/n中的1/n是在根号里面还是外面？

数列不等式请问：A1=1,A(n+1)=(An)/2+1/An,证明：根号2 已知数列{an}满足a1=1,an=4a(n-1)/[2a(n-1)+1] (n>=2)求数列{an}的通项公式证明不等式:a1+a2+…+an>(3n-16)/2 数列{an}中,a1=2,a(1+n)-4an-3n+1,n属于正整数.求证不等式S(n+1) 数列不等式证明数列{an}中a1=2,a（n+1）=an/2 +1/an,求证：根号2 数列与不等式综合问题已知:数列递推如下：a(n+1)=1/2a(n)^2-1/4a(n)+3/4,其中a1=a(1/2 数列{a(n)}中,a1=1,a(n+1)=2a(n)/a(n)+2,求a(n) 在数列{a(n)}中a1=1,a(n+1)=2a(n)-1,求a(n). 在数列{a(n))中,a1=1,a(n+1)=a(n)^2+4a(n)+2 求数列{a(n)}的通项公式 等差数列、等比数列1、数列{a n}中,a1=1,当n≥2,其前n项和S n满足(S n)^2=a n (S n -1/2),求数列{a n}2、已知数列{a n}满足a1=1/2,a1+a2+a3+……+a n=n^2 a,求数列{a n}的通项公式2、已知数列{a n}满足a1=1/2，a1+a2+ 已知数列a1=2,[a(n+1)]=-2[a（n)]+3求an 数列{An}中,a1=2,a (n+1)=4an-3n+1,n为N*1,证明：数列{an - n}是等比数列2,求数列{an}前n项和Sn3,证明不等式S（n+1)< = 4Sn,对任意n为N* 成立 2道高一数列题!1.已知数列{an}中,a1=2,a(n+1)=4an-3n+1,n属于N*（1）求证数列{an-n}是等比数列（2）求数列{an}的前n项和Sn（3）证明不等式Sn+1 已知数列中a1=1,a(n+1)/a(n)=1/2,求数列的通项公式 数列an满足n ∈ N*,an > 0 且a1^3 + a2^3 + a3^3 + ...+ an^3 = (a1 + a2 + a3 + ...+ an)^2设数列1 / [ an * a(n+2) ] 的前n项和为Sn,不等式Sn > log (a) (1-a) / 3 对任意正整数n 恒成立,求实数a 的取值范围.0 < a < 1/2，我另 数列不等式已知an=2^n-1 前一个n为下标求证：a1/a2+a2/a3+a3/a4+.+an/a(n+1) 最后一个n+1为下标> n/2-1/3 在数列{a n}中,a1=2 a n+1=a n+Ln(1+1/n).求an 数列an满足n ∈ N*,an > 0 且a1^3 + a2^3 + a3^3 + ...+ an^3 = (a1 + a2 + a3 + ...+ an)^2设数列1 / [ an * a(n+2) ] 的前n项和为Sn,不等式Sn >1/3 * log (a) (1-a) 对任意正整数n 恒成立,求实数a 的取值范围. 已知数列{a n}中,a1=8,且2a(n+1)+an=6,其前n项和为Sn,则满足不等式|Sn-2n-4|