sin(πcosx)=cos(πsinx),x为锐角,求x

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 20:37:56
sin(πcosx)=cos(πsinx),x为锐角,求xsin(πcosx)=cos(πsinx),x为锐角,求xsin(πcosx)=cos(πsinx),x为锐角,求x∵sin(πcosx)=c

sin(πcosx)=cos(πsinx),x为锐角,求x
sin(πcosx)=cos(πsinx),x为锐角,求x

sin(πcosx)=cos(πsinx),x为锐角,求x
∵sin(πcosx)=cos(πsinx)
=sin(π/2-πsinx)
∴πcosx=π/2-πsinx
或πcosx+(π/2-πsinx)=π
即 cosx+sinx=1/2
或cosx-sinx=1/2
∴ 1+sin2x=1/4
或1-sin2x=1/4
∴ sin2x=-3/4 ①
或sin2x=3/4 ②
① ∵x为锐角
则0

根据对称性
sinx<1/2,要不然cos(πsinx)<0无解
在值域区间(0,1/2)内
设sinx=a
cosx=√(1-a^2)
则必然有
π-π√(1-a^2)+πa=π/2
√(1-a^2)-a=1/2
移项得
√(1-a^2)=a+1/2
平方得
1-a^2=1/4+a+a^2
解得

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根据对称性
sinx<1/2,要不然cos(πsinx)<0无解
在值域区间(0,1/2)内
设sinx=a
cosx=√(1-a^2)
则必然有
π-π√(1-a^2)+πa=π/2
√(1-a^2)-a=1/2
移项得
√(1-a^2)=a+1/2
平方得
1-a^2=1/4+a+a^2
解得
a=(-1±√7)/4
舍去负值
sinx=(-1+√7)/4
x=arcsin[(-1+√7)/4]
真有一解呀?

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