高一数学零点已知关于x的方程a^x=-x^2+2x+a(a>0,且a不等于1证明对任意实数a方程总有两解请大家帮下 谢谢

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/25 21:16:44
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高一数学零点已知关于x的方程a^x=-x^2+2x+a(a>0,且a不等于1证明对任意实数a方程总有两解请大家帮下 谢谢
高一数学零点
已知关于x的方程a^x=-x^2+2x+a(a>0,且a不等于1证明对任意实数a方程总有两解
请大家帮下 谢谢

高一数学零点已知关于x的方程a^x=-x^2+2x+a(a>0,且a不等于1证明对任意实数a方程总有两解请大家帮下 谢谢
可以用数形结合法.
令f(x)=a^x  g(x)=-x^2+2x+a=-(x-1)^2 +a+1
f(1)=a g(1)=1+a  f(1)<g(1)
画出大致图形如下
由图可知,不管0<a<1还是a>1,f(x)与g(x)的图像都有两个交点
故原方程总有两解.

令 f(x) = a^x + x^2 - 2x - a = a^x + (x-1)^2 - 1-a,
f(1) = a + 0 - 1 - a = -1 < 0
设 x1, x2 为 (x-1)^2 - 1-a = 0 的两个根。
x1 = 1 + 根(a+1),
x2 = 1 - 根(a+1).
则有:
f(x1) = a^x1 > 0

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令 f(x) = a^x + x^2 - 2x - a = a^x + (x-1)^2 - 1-a,
f(1) = a + 0 - 1 - a = -1 < 0
设 x1, x2 为 (x-1)^2 - 1-a = 0 的两个根。
x1 = 1 + 根(a+1),
x2 = 1 - 根(a+1).
则有:
f(x1) = a^x1 > 0
f(x2) = a^x2 > 0
而 x2 < 1 < x1
所以 f(x) 在 (x2, 1)和(1, x1)各有一解。
所以原方程总有两解

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