定积分∫上5下-5 4/5*根号下（25-X^2)dx的值是?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 12:05:10
定积分∫上5下-5 4/5*根号下（25-X^2)dx的值是?
定积分∫上5下-5 4/5*根号下（25-X^2)dx的值是?
定积分∫上5下-5 4/5*根号下（25-X^2)dx的值是?
被积函数是偶函数,原式=2*（4/5）∫[0,5]√（25-x^2)dx,
令x=5sint,dx=5cost,
x=0,t=0,x=5,t=π/2,
原式=（8/5）∫[0,π/2] 5cost*5costdt
=(8/5)*25∫[0,π/2] (1/2)(1+cos2t)dt
=20[0,π/2](t+sin2t)
=20(π/2-0+0-0)
=10π.
1)(直接用换元法）
令x=5sint,那么t的积分线是上π/2，下π/2
积分函数=4/5*根号[25-25(sint)^2]d(5sint)
=4/5*根号[25(cost)^2]*5cost=5|cost|cost
然后根据积分上下线来去掉绝对值
原式=∫<π/2,0>4(cost)^2dt - ∫<0,-π/2>4(cos...
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1)(直接用换元法）
令x=5sint,那么t的积分线是上π/2，下π/2
积分函数=4/5*根号[25-25(sint)^2]d(5sint)
=4/5*根号[25(cost)^2]*5cost=5|cost|cost
然后根据积分上下线来去掉绝对值
原式=∫<π/2,0>4(cost)^2dt - ∫<0,-π/2>4(cost)^2dt
=∫<π/2,0>2[cos2t+1]dt -∫<0,-π/2>2[cos2t+1]dt
=20π
2）（几何性质）
上面那个函数其实表示的是个椭圆方程，长轴是5，短轴是4，所以积分即面积=π*ab=20π
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