若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)乘f(b),且当x1;(1)f(x)>0;(2)f(x)为减函f(x)不等于0
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 03:12:47
若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)乘f(b),且当x1;(1)f(x)>0;(2)f(x)为减函f(x)不等于0
若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)乘f(b),且当x1;(1)f(x)>0;(2)f(x)为减函
f(x)不等于0
若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)乘f(b),且当x1;(1)f(x)>0;(2)f(x)为减函f(x)不等于0
这与 f(x) 为非0函数矛盾.因此 不存在 x0 ,使得 f(x0) = 0
综上所述：f(x) > 0
(3)当f(4)=1/16 时,解不等式f(x-3)·f(5-x^2)≤1/4
f(4) = 1/16,所以
f(4) = f(2+2) = f(2)*f(2) = 1/16
根据 f(x) > 0 ,舍去 f(2) = -1/4
f(2) = 1/4
根据 f(a)*f(b) = f(a+b),则
f(x-3)*f(5-x^2) = f(2 + x - x^2) ≤ 1/4 = f(2)
根据 f(x) 是减函数,则
2 + x - x^2 ≥ 2
x^2 - x ≤ 0
x(x-1) ≤ 0
0 ≤ x ≤ 1
参考资料：实际上 ,底数 小于1 的指数型函数 恰好 满足f(x)的各种性质
我对这题比较感兴趣，但想先问一下非零函数是指f(x)不为0还是x不为0？
（1）设x＞0，则-x＜0，在原式中令b=0得f（a）=f（a）•f（0），故f（0）=1，
再令a=x，b=-x，则f（0）=f（x）•f（-x），所以f（x）=1 f(-x) ，因为-x＜0，所以f（-x）＞1，
所以0＜f（x）＜1，综上f（x）＞0
（2）任取两个实数x1和x2，且x1＜x2，则x2=x1+m，且m＞0，所以0＜f（m）＜1<...
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（1）设x＞0，则-x＜0，在原式中令b=0得f（a）=f（a）•f（0），故f（0）=1，
再令a=x，b=-x，则f（0）=f（x）•f（-x），所以f（x）=1 f(-x) ，因为-x＜0，所以f（-x）＞1，
所以0＜f（x）＜1，综上f（x）＞0
（2）任取两个实数x1和x2，且x1＜x2，则x2=x1+m，且m＞0，所以0＜f（m）＜1
f（x2）-f（x1）=f（x1+m）-f（x1）=f（x1）•f（m）-f（x1）=f（x1）（f（m）-1）＜0，
所以f（x2）＜f（x1），所以f（x）为减函数
（3）由f(4)=1 16 得f（2）=1 4 ，f(x-3)•f(5-x2)≤1 4 ，即f（x-3+5-x2）≤f（2）
由（2）可知x-3+5-x2≥2，即x-x2≥0，所以x∈[0，1]．
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