数列1+2x+3x^2+...+nx^(n-1)的和为什么不是1-x^(n-1)/(1+x)^2 - nx^n/1-x,而是1-x^n/(1+x)^2 - nx^n/1-x?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 00:58:10
数列1+2x+3x^2+...+nx^(n-1)的和为什么不是1-x^(n-1)/(1+x)^2 - nx^n/1-x,而是1-x^n/(1+x)^2 - nx^n/1-x?
数列1+2x+3x^2+...+nx^(n-1)的和为什么不是1-x^(n-1)/(1+x)^2 - nx^n/1-x,而是1-x^n/(1+x)^2 - nx^n/1-x?
数列1+2x+3x^2+...+nx^(n-1)的和为什么不是1-x^(n-1)/(1+x)^2 - nx^n/1-x,而是1-x^n/(1+x)^2 - nx^n/1-x?
乘公比错位相减法
乘X得到
xSn=x+2x^2+3x^3…+(n-1)x^(n-1)+nx^n
相减得到
(1-x)Sn=1+x+x^2+x^3…+x^(n-1)-nx^n
Sn=(1+x+x^2+x^3…+x^(n-1)-nx^n)/(1-x)
1+x+x^2+x^3…+x^(n-1)等比数列,首项为1,公比为x ,共有(n-1)项S(n-1)=[1-x^(n-1)]/(1-x)
代入到上面即可
S=1+2x+3x^2+...+nx^(n-1)
xS=1x +2x^2 +3x^3+...+nx^n
S - xS=1+x+x^2+...+x^(n-1) -nx^n
S=(1+x+x^2+...+x^(n-1) -nx^n) / (1-x)
乘X得到
xSn=x+2x^2+3x^3…+nx^n
相减得到
(1-x)Sn=1+x+x^2+x^3…+x^(n-1)-x^n
移项得到
Sn=(1+x+x^2+x^3…+x^(n-1)-x^n)/(1-x)
=[(1-x^n)/(1-x)-x^n]/(1-x)=(1-x^n)/(1-x)^2-x^n/(1-x)
=(1-x^...
全部展开
乘X得到
xSn=x+2x^2+3x^3…+nx^n
相减得到
(1-x)Sn=1+x+x^2+x^3…+x^(n-1)-x^n
移项得到
Sn=(1+x+x^2+x^3…+x^(n-1)-x^n)/(1-x)
=[(1-x^n)/(1-x)-x^n]/(1-x)=(1-x^n)/(1-x)^2-x^n/(1-x)
=(1-x^n)/(1-x)^2-x^n(1-x)/(1-x)^2
=[1-x^n(1+1-x)]/(1-x)^2
=[1-x^n(2-x)]/(1-x)^2
因为分母有x-1，所以上面式子x=/=1
当x=1的时候
Sn=1+2+3+4+5+6+……+n=（1+n）n/2
收起