二阶常系数齐次线性微分方程 通解通解有三种情况 其中一种一直不懂 什么共轭复根 比如说这个题目:求微分方程y-2y+5y= 0的通解. 解 所给方程的特征方程为 r2-2r+5=

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 20:32:32
二阶常系数齐次线性微分方程通解通解有三种情况其中一种一直不懂什么共轭复根比如说这个题目:求微分方程y-2y+5y=0的通解.解所给方程的特征方程为r2-

二阶常系数齐次线性微分方程 通解通解有三种情况 其中一种一直不懂 什么共轭复根 比如说这个题目:求微分方程y-2y+5y= 0的通解. 解 所给方程的特征方程为 r2-2r+5=
二阶常系数齐次线性微分方程 通解
通解有三种情况 其中一种一直不懂 什么共轭复根 比如说这个题目:
求微分方程y-2y+5y= 0的通解.
解 所给方程的特征方程为
r2-2r+5=0
特征方程的根为r1=1+2i r2=1-2i 是一对共轭复根
因此所求通解为
y=ex(C1cos2x+C2sin2x).
帮忙解释下r1怎么会等于1+2i,r2怎么会等于1-2i谢谢!

二阶常系数齐次线性微分方程 通解通解有三种情况 其中一种一直不懂 什么共轭复根 比如说这个题目:求微分方程y-2y+5y= 0的通解. 解 所给方程的特征方程为 r2-2r+5=
y'' - 2y' + 5y = 0,
设y = e^[f(x)],则
y' = e^[f(x)]*f'(x),
y''= e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x).
0 = y'' - 2y' + 5y = e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x) - 2e^[f(x)]*f'(x) + 5e^[f(x)],
0 = [f'(x)]^2 + f''(x) - 2f'(x) + 5,
当f(x) = ax + b,a,b是常数时.
f''(x) = 0,
f'(x) = a.
0 = a^2 - 2a + 5.
2^2 - 4*5 = -16 < 0.(2^2-4*5)^(1/2)=4i.
a = [2 + 4i]/2 = 1 + 2i或a = [2-4i]/2 = 1 - 2i.
y = e^[f(x)] = e^[ax+b] = e^[(1+2i)x + b] = e^[x+b]*e^(2ix)

y = e^[f(x)] = e^[ax+b] = e^[(1-2i)x + b] = e^[x+b]*e^(-2ix)
因2个解都满足微分方程.所以,微分方程的实函数解为,
y = e^[x+b]*e^(2ix) + e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)+e^(-2ix)] = 2e^[x+b][cos(2x)]

y = e^[x+b]*e^(2ix) - e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)-e^(-2ix)] = 2e^[x+b][sin(2x)]
微分方程的实函数的通解为,
y = 2c1e^[x+b][cos(2x)] + 2c2e^[x+b][sin(2x)]
= e^x[2c1e^bcos(2x) + 2c2e^bsin(2x)]
其中,c1,c2 是任意常数.

C1 = 2c1e^b,C2 = 2c2e^b,

y = e^x[C1cos(2x) + C2sin(2x)]
C1,C2为任意常数.
这个,可能就是特征方程无实数根时,通解的由来吧~
【俺记忆力很差,公式都记不住,全靠傻推.
这样的坏处是费时,好处是,自己推1遍,来龙去脉就清楚1些了.
不知道,俺的傻推过程对你的疑问有点帮助没~】

r^2-2r+5=0
Δ=b^2-4ac=16<0
所以这个方程没有实根,而是是2个共轭复根。
复根就是用复数表示的根
复数是比实数更大范围的数, 由实部和虚部组成。
虚部有个i,i^2=-1,如设实数m,n,则复数可以表示为m+ni,m是实部,ni为虚部。
其中m+ni和m-ni是共轭关系,就是虚部是相反数,实部相等的两复数!

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r^2-2r+5=0
Δ=b^2-4ac=16<0
所以这个方程没有实根,而是是2个共轭复根。
复根就是用复数表示的根
复数是比实数更大范围的数, 由实部和虚部组成。
虚部有个i,i^2=-1,如设实数m,n,则复数可以表示为m+ni,m是实部,ni为虚部。
其中m+ni和m-ni是共轭关系,就是虚部是相反数,实部相等的两复数!
复根一元二次方程的解法是m=-b/2a n=(根号下|Δ|)/2a
希望您能明白

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我来给你介绍一下:

r^2-2r+5=0 在实数域内你能得到根么?在复数域内则可得到一对共轭复根,事实上任何实系数一元多次方程若有虚根,则虚根必共轭成对出现!
当然你可能更想知道怎么由这对共轭根得到该微分方程的通解,这问题个根据两种情况解决
1)你只是学简单地高等数学,或者搞工程技术,那么只需要记住怎么由该虚根求得微分方程通解就行了,就是记住公式,记住虚根实虚部和微分方程通解的对应...

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r^2-2r+5=0 在实数域内你能得到根么?在复数域内则可得到一对共轭复根,事实上任何实系数一元多次方程若有虚根,则虚根必共轭成对出现!
当然你可能更想知道怎么由这对共轭根得到该微分方程的通解,这问题个根据两种情况解决
1)你只是学简单地高等数学,或者搞工程技术,那么只需要记住怎么由该虚根求得微分方程通解就行了,就是记住公式,记住虚根实虚部和微分方程通解的对应关系(或称为微分方程解的结构)
2)你对求解过程非常感兴趣,或者是学专业数学的,那么你可以参考任何一本专业讲常微分方程的书籍,都能得到你的答案

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r是微分方程的特征值,它是通过方程r^2-2r+5=0来求出的。
将其看成一元二次方程,判别式=4-20=-16<0,说明方程没有实数根,但在复数范围内有根,根为: r1=1+2i r2=1-2i;
在复数领域中,z1=a+bi 和z2=a-bi, 及两个复数的实数部分相等,虚数部分互为相反数的复数称为共轭复数;所以本题的两个特征值符合这一关系,故谓...

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r是微分方程的特征值,它是通过方程r^2-2r+5=0来求出的。
将其看成一元二次方程,判别式=4-20=-16<0,说明方程没有实数根,但在复数范围内有根,根为: r1=1+2i r2=1-2i;
在复数领域中,z1=a+bi 和z2=a-bi, 及两个复数的实数部分相等,虚数部分互为相反数的复数称为共轭复数;所以本题的两个特征值符合这一关系,故谓共轭复根。

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就是解r^2-2r+5=0这个方程
r^2-2r+1=-4
(r-1)^2=-4
所以r1=1+2i r2=1-2i
应该没有什么难理解的啊

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