锐角三角形ABC满足a/b+b/a=6cosC求tanC/tanA+tanC/tanB=__
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 09:36:55
锐角三角形ABC满足a/b+b/a=6cosC求tanC/tanA+tanC/tanB=__
锐角三角形ABC满足a/b+b/a=6cosC
求tanC/tanA+tanC/tanB=__
锐角三角形ABC满足a/b+b/a=6cosC求tanC/tanA+tanC/tanB=__
∵ a/b+b/a=6cosC (得到a²+b²=6abcosC)
∴ (a²+b²)/ab=6(a²+b²-c²)/(2ab)=3(a²+b²-c²)/ab
∴c²=2(a²+b²)/3
tanC/tanA+tanC/tanB
=tanC(cosA/sinA+cosB/sinB)
=tanC*(cosAsinB+cosBsinA)/(sinAsinB)
=tanC*sin(A+B)/(sinAsinB)
=sinCsin(A+B)/[sinAsinBcosC]
∵ A+B=π-C,∴ sin(A+B)=sinC
=sin²C/(sinAsinBcosC)
利用正弦定理
=c²/(abcosC)
=6c²/(a²+b²)
=6*(2/3)
=4
∵a/b＋b/a＝6cosC，∴结合正弦定理，容易得出：sinA/sinB＋sinB/sinA＝6cosC，
∴［（sinA）^2＋（sinB）^2］/（sinAsinBcosC）＝6。······①
在△ABC中，有恒等式：（sinA）^2＋（sinB）^2－（sinC）^2＝2sinAsinBcosC，
∴（sinA）^2＋（sinB）^2＝（sinC）^2＋2sinA...
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∵a/b＋b/a＝6cosC，∴结合正弦定理，容易得出：sinA/sinB＋sinB/sinA＝6cosC，
∴［（sinA）^2＋（sinB）^2］/（sinAsinBcosC）＝6。······①
在△ABC中，有恒等式：（sinA）^2＋（sinB）^2－（sinC）^2＝2sinAsinBcosC，
∴（sinA）^2＋（sinB）^2＝（sinC）^2＋2sinAsinBcosC，
∴［（sinA）^2＋（sinB）^2］/（sinAsinBcosC）＝（sinC）^2/（sinAsinBcosC）＋2。······②
由①、②，得：（sinC）^2/（sinAsinBcosC）＋2＝6，
∴（sinC）^2/（sinAsinBcosC）＝4，
∴［sinC/（sinAsinB）］tanC＝4，
∴tanC［sin（180°－A－B）/（sinAsinB）］＝4，
∴tanC［sin（A＋B）/（sinAsinB）］＝4，
∴tanC［（sinAcosB＋cosAsinB）/（sinAsinB）］＝4，
∴tanC（cosB/sinB＋cosA/sinA）＝4，
∴tanC（1/tanA＋1/tanB）＝4，
∴tanC/tanA＋tanC/tanB＝4。
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