特征值与特征向量证明题1、设ξ1,ξ2都是A的对应于特征值λ的特征向量,证明:kξ1(k≠0)和ξ1+ξ2仍然是A的对应于特征值λ的特征向量.2、设ξ1,ξ2分别是A的对应于不同特征值λ1,λ2的特征向量,
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 02:54:57
特征值与特征向量证明题1、设ξ1,ξ2都是A的对应于特征值λ的特征向量,证明:kξ1(k≠0)和ξ1+ξ2仍然是A的对应于特征值λ的特征向量.2、设ξ1,ξ2分别是A的对应于不同特征值λ1,λ2的特征向量,
特征值与特征向量证明题
1、设ξ1,ξ2都是A的对应于特征值λ的特征向量,证明:kξ1(k≠0)和ξ1+ξ2仍然是A的对应于特征值λ的特征向量.
2、设ξ1,ξ2分别是A的对应于不同特征值λ1,λ2的特征向量,证明ξ1+ξ2不可能是A的特征向量.
知道的请详细回答,
另,第一题是不是题目本来就错了.
特征值与特征向量证明题1、设ξ1,ξ2都是A的对应于特征值λ的特征向量,证明:kξ1(k≠0)和ξ1+ξ2仍然是A的对应于特征值λ的特征向量.2、设ξ1,ξ2分别是A的对应于不同特征值λ1,λ2的特征向量,
1)ξ1,ξ2都是A的对应于特征值λ的特征向量,
所以Aξ1=λξ1,Aξ2=λξ2,
Akξ1=λkξ1(k≠0)
A(ξ1+ξ2)=λ(ξ1+ξ2)
所以kξ1(k≠0)和ξ1+ξ2仍然是A的对应于特征值λ的特征向量.
2)设ξ1+ξ2是A的特征向量
则存在 λ使得
A(ξ1+ξ2)=λ(ξ1+ξ2)
又ξ1,ξ2分别是A的对应于不同特征值λ1,λ2的特征向量
所以Aξ1=λ1ξ1,Aξ2=λ2ξ2,
A(ξ1+ξ2)=λ1ξ1+λ2ξ2=λ(ξ1+ξ2)
(λ1-λ)ξ1+(λ2-λ)ξ2=0
(λ1-λ),(λ2-λ)不同时为0说明ξ1,ξ2线性相关与ξ1,ξ2分别是A的对应于不同特征值λ1,λ2的特征向量矛盾
所以ξ1+ξ2不可能是A的特征向量.
1、题目错误,只有当λ=0时,结论才成立.
2、设ξ1+ξ2是A对应于某个特征值λ的特征向量,则A(ξ1+ξ2)=λ(ξ1+ξ2)
所以,λ(ξ1+ξ2)=A(ξ1+ξ2)=λ1ξ1+λ2ξ2
所以,(λ-λ1)ξ1+(λ-λ2)ξ2=0
因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的,所以ξ1,ξ2线性无关,所以由上式得λ-λ1=λ-λ2=0,所以λ1=λ2,矛盾.
全部展开
1、题目错误,只有当λ=0时,结论才成立.
2、设ξ1+ξ2是A对应于某个特征值λ的特征向量,则A(ξ1+ξ2)=λ(ξ1+ξ2)
所以,λ(ξ1+ξ2)=A(ξ1+ξ2)=λ1ξ1+λ2ξ2
所以,(λ-λ1)ξ1+(λ-λ2)ξ2=0
因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的,所以ξ1,ξ2线性无关,所以由上式得λ-λ1=λ-λ2=0,所以λ1=λ2,矛盾.
结论得证
收起