关于图形与变换的数学题~在三角形ABC中AC=BC,CD是AB边上的高线,且有2CD=3AB,又E,F为CD的三等分点,求证:∠ACD+∠AEB+∠AFB=180°
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 13:31:28
关于图形与变换的数学题~在三角形ABC中AC=BC,CD是AB边上的高线,且有2CD=3AB,又E,F为CD的三等分点,求证:∠ACD+∠AEB+∠AFB=180°
关于图形与变换的数学题~
在三角形ABC中AC=BC,CD是AB边上的高线,且有2CD=3AB,又E,F为CD的三等分点,求证:∠ACD+∠AEB+∠AFB=180°
关于图形与变换的数学题~在三角形ABC中AC=BC,CD是AB边上的高线,且有2CD=3AB,又E,F为CD的三等分点,求证:∠ACD+∠AEB+∠AFB=180°
由题意得:设AB=2X,则CD=3X,
∵CD是AB边上的高线
∴有RT△ADF,AED,ACD
∵E,F为CD的三等分点
∴DF=X,EF=2X
在RT△ADF中,
TAN ∠AFD=AD/DF=1/1
同理,TAN ∠AED=AD/DE=1/2
TAN ∠ACD=AD/CD=1/3
∴∠AFD+∠AED+∠ACD=90°
∵AC=BC,CD⊥AB
∴∠ACB=2∠ACD,∠AFB=2∠AFD,∠AEB=2∠AED
∴∠ACB+∠AEB+∠AFB=180°
你出错题，你的应该是求证:∠ACB+∠AEB+∠AFB=180°，这样就可以。
已知AC=BC，CD垂直AB，所以CD也是AB的中线，以D为原点，AB为X轴做直角坐标系，则CD是Y轴。假设AB=2a,则CD=3a,AD=BD=a,ED=2a,FD=a(具体怎么来的自己算了，很容易的）。则各点的坐标为：A(-a,0),B(a,0),C(0,3a),D(0,0),E(0,2a),F(0,a);...
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你出错题，你的应该是求证:∠ACB+∠AEB+∠AFB=180°，这样就可以。
已知AC=BC，CD垂直AB，所以CD也是AB的中线，以D为原点，AB为X轴做直角坐标系，则CD是Y轴。假设AB=2a,则CD=3a,AD=BD=a,ED=2a,FD=a(具体怎么来的自己算了，很容易的）。则各点的坐标为：A(-a,0),B(a,0),C(0,3a),D(0,0),E(0,2a),F(0,a);
那么依据向量积的求法有：
FA向量*FB向量（乘号在此表示向量积！就是坐标对应相乘！）=（-a,-a)*(a,-a)=0,所以FA向量垂直于FB向量，即AFB=90度；
所以只要证出ACD+AEB=90度就行了；同样用向量法分别求这两角的三角函数值：
cosACB=(CA向量*CB向量）/（CA向量的模*CB向量的模）=（-a,-3a)*(a,-3a)/(根号10a*根号10a)=4/5,所以sinACB=3/5;
同理，cosAEB=(EA向量*EB向量)/（EA向量的模*EB向量的模）=（-a,-2a)*(a,-2a)/(根号3a*根号3a)=3/5,所以sinACB=4/5
所以，cos(ACB+AEB)=cosACB*cosAEB-sinACB*sinAEB=(4/5)*(3/5)-(3/5)*(4/5)=0,所以ACB+AEB=90度（cos90=0)
上面已算出AFB=90度，因此ACB+AEB+AFB=90度+90度=180度
证毕。
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