已知函数f(x)=mx^3-x的图像上、以(1,n)为切点的切线的倾斜角为45度.(1)求m、n的值（2）是否存在最小的正整数K,使得不等式f（x）＜=k-1992对于x∈[-1,3]恒成立?如果存在,请求出最小的正整数k,如果

已知函数f(x)=mx^3-x的图像上、以(1,n)为切点的切线的倾斜角为45度.(1)求m、n的值（2）是否存在最小的正整数K,使得不等式f（x）＜=k-1992对于x∈[-1,3]恒成立?如果存在,请求出最小的正整数k,如果
已知函数f(x)=mx^3-x的图像上、以(1,n)为切点的切线的倾斜角为45度.
(1)求m、n的值
（2）是否存在最小的正整数K,使得不等式f（x）＜=k-1992对于x∈[-1,3]恒成立?如果存在,请求出最小的正整数k,如果不存在,请说明理由.
（3）求证|f（sinx）+f（cosx）|＜=2f（t+1\2t） ,（x∈R,t＞0）
非常急、越快越好、

已知函数f(x)=mx^3-x的图像上、以(1,n)为切点的切线的倾斜角为45度.(1)求m、n的值（2）是否存在最小的正整数K,使得不等式f（x）＜=k-1992对于x∈[-1,3]恒成立?如果存在,请求出最小的正整数k,如果
（1）f'(x)=3mx^2-1
f'(1)=3m-1=1
∴m=2/3
f(1)=m-1=n
∴n=-1/3
（2）f(x)=(2/3)x^3-x
f'(x)=2x^2-1
f'(x)=0的两根是x=±√2/2
所以当x＜-√2/2或x＞√2/2时,f'(x)＞0,f(x)单调递增.
当-√2/2＜x＜√2/2时,f'(x)＜0,f(x)单调递减.
在区间[-1,3]内,作如下讨论：
x∈[-1,-√2/2)时,f(x)单调递增.
f(x)＜f(-√2/2)=√2/3
x∈[-√2/2,√2/2)时,f(x)单调递减.
f(x)＜f(-√2/2)=√2/3
x∈[√2/2,3]时,f(x)单调递增.
f(x)＜f(3)=15
综上,f(x)在[-1,3]上的最大值为15
当k-1992≥15时,不等式恒成立.
k的最小值为2007.
（3）t+1/2t≥2√(t*1/2t)=√2
当x≥√2时,函数f(x)单调递增.
∴f(t+1/2t)≥f(√2)=√2/3
-f(t+1/2t)≤-f(√2)=-√2/3
-1≤sinx≤1
所以,可求得,
f(sinx)的最大值为f(-√2/2)=√2/3=f(√2)
f(-sinx)的最大值也为f(-√2/2)=√2/3=f(√2)
同理
f(cosx)与f(-cosx)的最大值均为f(-√2/2)=√2/3=f(√2)
即,f(sinx)≤f(√2)
f(-sinx)≤f(√2)
f(cosx)≤f(√2)
f(-cosx)≤f(√2)
∴f(sinx)+f(cosx)-2f(√2)≤0
∴f(sinx)+f(cosx)≤2f(√2)≤f(t+1/2t)
又2f(√2)-f(-sinx)-f(-cosx)≥0
f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x)
∴2f(√2)+f(sinx)+f(cosx)≥0
-2f(√2)≤f(sinx)-f(cosx)
所以,命题得证.

1 对F(X)求导 F(x)'=3mx^2-1 因为以（1，n)点处的斜线斜率为TAN45°=1所以带入得3m-1=1 m=2/3 然后把（1，n)代入F(X)所以n=2/3-1=-1/3
2 假设存在则 2/3X^3-X<=K-1992 那么得先求出F（x)=2/3x^3-x的最大值 x∈[-1,3]，同样求导F(x)'=2X^2-1=0 那么X=正负负根号下1/2 所以【-...

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1 对F(X)求导 F(x)'=3mx^2-1 因为以（1，n)点处的斜线斜率为TAN45°=1所以带入得3m-1=1 m=2/3 然后把（1，n)代入F(X)所以n=2/3-1=-1/3
2 假设存在则 2/3X^3-X<=K-1992 那么得先求出F（x)=2/3x^3-x的最大值 x∈[-1,3]，同样求导F(x)'=2X^2-1=0 那么X=正负负根号下1/2 所以【-1，负根号下1/2 】函数递增 【负根号下1/2 ，正负根号下1/2 】函数递减 【 正负根号下1/2 ，3】函数递增，所以最大点必定在X=-1或者X=3处 代入函数看X=-1时候F（x)=1/3 x=3时f(x)=15所以存在最小正整数K=1992+15=2007
3 第三题题目有误吧 复杂····哎···

收起

1、
k=tan45=f'(x)=3mx^2-1=1
m=2/3
带入原式
n=2/3-1=-1/3
2、
f'(x)=2x^2-1
当x=±√2/2时
f'(x)=0
f''(x)=4x
当x=√2/2时 f''(x) ＞0 取得极小值
f(√2/2)=-√2/3
当x=-√2/2时 f''(...

全部展开

1、
k=tan45=f'(x)=3mx^2-1=1
m=2/3
带入原式
n=2/3-1=-1/3
2、
f'(x)=2x^2-1
当x=±√2/2时
f'(x)=0
f''(x)=4x
当x=√2/2时 f''(x) ＞0 取得极小值
f(√2/2)=-√2/3
当x=-√2/2时 f''(x)＜ 0 取极大值
f(-√2/2)=(2/3)(-√2/2)^3+√2/2=√2/3
f(-1)=1/3
f(3)=15
最大值为15
15≤k-1992
k≥2007
k=2007
3、
设T=t+1/(2t)≥2√t*[1/(2t)]= √2 当t=1/(2t) t=√2/2成立
所以T≥√2
根据 第二问
当T=√2时 f(T)取最小值=√2/3
所以2f(T)≥2√2/3
f（sinx）+f（cosx）=
（2/3）sin^3 x-sinx+（2/3）cos^3 x-cosx
=（2/3）(sinx+cosx)(sin^2 x-sinxcosx+cos^2 x)-(sinx+cosx)
=(sinx+cosx)[(2/3)-(2/3)sinxcosx-1]
=(sinx+cosx)[-(2/3)sinxcosx-(1/3)]
=-(1/3)(sinx+cosx)(sinx+cosx)^2
=-(1/3)(sinx+cosx)^3
=-(2√2/3)sin^3(x+π/4)
最大值为2√2/3
所以|f（sinx）+f（cosx）|≤2√2/3≤2f（t+1\2t）

收起

f(x)=mx^3-x
f'(x)=3mx^2-1
f'(1)=tan45°=1
所以3m-1=1 3m=2 m=2/3
f(x)=2/3 x^3-x
n=f(1)=2/3-1=-1/3