在三角形ABC中,cosA=2sinBsinC是三角形钝角三角的充分不必要条件,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 09:32:41
在三角形ABC中,cosA=2sinBsinC是三角形钝角三角的充分不必要条件,
在三角形ABC中,cosA=2sinBsinC是三角形钝角三角的充分不必要条件,
在三角形ABC中,cosA=2sinBsinC是三角形钝角三角的充分不必要条件,
充分性：
因为cosA=-cos(B+C)
所以：-cos(B+C)=2sinBsinC
-(cosBcosC-sinBsinC)=2sinBsinC
-cosBcosC=sinBsinC
cosBcosC+sinBsinC=0
cos(B-C)=0
B-C=π/2+kπ,
因为是在三角形中,所以,B-C=π/2；或B-C=-π/2；
无论B-C等π/2还是-π/2,B和C中必然有一个角是钝角,
所以,由cosA=2sinBsinC能够得到三角形钝角三角形这一结论.
不必要性：设三角形ABC是钝角三角形,A为钝角,
则cosA
cosA=-cos(B+C)=sinBsinC-cosBcosC=2sinBsinC 若B≠π/2 C≠π/2 tgBtgC=-1<0 B、C中必有一个钝角
充分性!
cosA=-cos(B+C)=-cosBcosC+sinBsinC=2sinBsinC
即：cosBcosC+sinBsinC=0
得：cos(B-C)=0
所以可得：B-C=90
即：B=90+C 所可得：B为钝角，
所以：在三角形ABC中，cosA=2sinBsinC是三角形钝角三角
必要性：如果三角形是钝角三角形，
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充分性!
cosA=-cos(B+C)=-cosBcosC+sinBsinC=2sinBsinC
即：cosBcosC+sinBsinC=0
得：cos(B-C)=0
所以可得：B-C=90
即：B=90+C 所可得：B为钝角，
所以：在三角形ABC中，cosA=2sinBsinC是三角形钝角三角
必要性：如果三角形是钝角三角形，
sinB>0,sinC>0 所以可得：cosA>0 所以在B,C中必有一个为钝角，不妨设B为钝角，则有：
cosA=-cos(B+C)
=-cosBcosC+sinBsinC
-cosBcosC不一定等于sinBsinC
所以不能得到：cosA=2sinBsinC
综上可得：
在三角形ABC中，cosA=2sinBsinC是三角形钝角三角的充分不必要条件
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