正定矩阵行列式小于等于对角线乘积 简单点的证明.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 13:00:46
正定矩阵行列式小于等于对角线乘积 简单点的证明.
正定矩阵行列式小于等于对角线乘积 简单点的证明.
正定矩阵行列式小于等于对角线乘积 简单点的证明.
楼上证得不对,这道题要用数学归纳法证明:
证明过程中要用到以下内容:
第一:n阶矩阵An正定,An-1为n-1阶顺序主子式正定.
第二,若A正定,则A逆正定.
我们看An的顺序主子式A1,A2,...An-1,An(就是对角线上的块儿,详情百度百科).
数学归纳对n归纳
A1=a11,满足条件
当为n-1时,若An-1<=a11*a22*.*an-1n-1.
往证那么为n时,An<=a11*.*ann.
将An分块,An=
An-1,b
b',ann
然后用n阶矩阵P={En,-An-1的逆b;0,1}合同An,就是P'AnP={}An-1,0 ; 0,ann-b'An-1b}.
两边取行列式|A|=|P'AP|=|An-1|(ann-b'An-1的逆b)<=(a11*a22*.*an-1n-1)(ann-b'An-1的逆b)
可见只要证明ann-b'An-1的逆b<=ann就完事儿了.
由于A和An-1都正定|A|=|P'AP|=|An-1|(ann-b'An-1的逆b),说明(ann-b'An-1的逆b)>0;
由于An-1的逆是正定的,说明b'An-1的逆b>=0.综上所以,0
A正定,则x'Ax>=0,令x=[y,0],则x'Ax=y'An-1y>=0,按照正定定义An-1正定.
第二个看特征值A正定,特征值皆正,A逆的特征值是A特征值的倒数,也皆正,则A逆正定(正定充要条件是特征值皆正)
A=PBP^(-1)
det(A)=det(B),B为对角矩阵