请用向量证明,三角形同比分点所连成的三角形的重心和原三角形的重心重合

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/27 02:36:08

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请用向量证明,三角形同比分点所连成的三角形的重心和原三角形的重心重合
设BD :DC = CE :EA = AF :FB = γ
根据矢量加法有矢量BD + 矢量CE + 矢量AF = (γ/(1 + γ)) (矢量BC + 矢量CA + 矢量AB） = (γ/(1 + γ)) * 0 = 0
设 O 为△ABC的重心,有矢量OA + 矢量OB + 矢量OC = 0
而矢量OD = 矢量OB + 矢量BD
矢量OE = 矢量OC + 矢量CE
矢量OF = 矢量OA + 矢量AF
所以
矢量OD + 矢量OE + 矢量OF
= （矢量OB + 矢量BD） + （矢量OC + 矢量CE） + （矢量OA + 矢量AF）
= （矢量OA + 矢量OB + 矢量OC）+ （矢量BD + 矢量CE + 矢量AF）
= 0 + 0 = 0
故 O也是△DEF的重心.问题得证.
注：这里用到一个定理：
O是三角形的重心的充要条件是矢量OA+矢量OB+矢量OC=0

设OA＝a, OB＝b, OC＝c OD＝ta+（1-t）b, 则OE＝tb+（1-t）c,OF＝tc+（1-t）a
设⊿ABC重心是G.则 OG＝（a+b+c）/3
⊿DEF重心是H,则OH＝｛[ta+（1-t）b]+[tb+（1-t）c]+[tc+（1-t）a]｝/3
＝（a+b+c）/3＝OG. H与G重合。

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