已知函数f(x)=lnx+2x-6,(1)证明:f(x)在其定义域上是增函数,(2)证明:f(x)有且只有一个零点,
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 08:35:22
已知函数f(x)=lnx+2x-6,(1)证明:f(x)在其定义域上是增函数,(2)证明:f(x)有且只有一个零点,
已知函数f(x)=lnx+2x-6,(1)证明:f(x)在其定义域上是增函数,
(2)证明:f(x)有且只有一个零点,
已知函数f(x)=lnx+2x-6,(1)证明:f(x)在其定义域上是增函数,(2)证明:f(x)有且只有一个零点,
1.函数定义域为x>0.
y'=1/x+2 > 0.该函数是单调增函数.
y''=-1/x^2 < 0.函数是凸函数.
2.f'(x)=1/x+2>0,
所以f(x)单调递增,
又因为x趋向于0时,f(x)趋向于-∞,
当x=e时,f(x)>0,
所以f(x)只有一个零点
1.函数f(x)=lnx+2x-6,可得x>0
f(x)'=1/x+2
因为x>0,
所以f(x)'>0
所以f(x)在其定义域上是增函数
2.
(1)f(x)的定义域为:(0,+∞)
∵lnx和2x-6在(0,+∞)上都是增函数
∴f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)上是增函数
(2)∵f(1)=-4<0,f(3)=ln3>0
∴ f(x)=lnx+2x-6在区间(1,3)至少有一个零点
又f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)上是增函数
...
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(1)f(x)的定义域为:(0,+∞)
∵lnx和2x-6在(0,+∞)上都是增函数
∴f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)上是增函数
(2)∵f(1)=-4<0,f(3)=ln3>0
∴ f(x)=lnx+2x-6在区间(1,3)至少有一个零点
又f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)上是增函数
∴f(x)在区间(1,3)有且只有一个零点,并且当x≤1时,f(x)≤f(1)<0 ,当x≥3时,f(x)≥f(3)>0
∴f(x)有且只有一个零点
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1、函数定义域为x>0。
设x1>x2>0,
f(x1)-f(x2)=(lnx1+2x1-6)-(lnx2+2x2-6)
=(lnx1-lnx2)+(2x1-2x2)
=ln(x1/x1)+2(x1-x2)
因为x1>x2>0,x1-x2>0,x1/x2>1,ln(x1/x1)>0
所以f(x1)-f(x2)>0即
f(x1)>f(x2)
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1、函数定义域为x>0。
设x1>x2>0,
f(x1)-f(x2)=(lnx1+2x1-6)-(lnx2+2x2-6)
=(lnx1-lnx2)+(2x1-2x2)
=ln(x1/x1)+2(x1-x2)
因为x1>x2>0,x1-x2>0,x1/x2>1,ln(x1/x1)>0
所以f(x1)-f(x2)>0即
f(x1)>f(x2)
所以f(x)是单调增函数。
2、取两个特殊值
f(1)=ln1+2*1-6= -4<0
f(e)=lne+2e-6=2e-5>0
所以f(x)有零点。
又f(x)单调递增,
所以f(x)只有一个零点
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