二次型化标准型的题目200032023此矩阵特征值为2时特征向量为什么是100.我怎么觉的是000呢?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 21:02:34
二次型化标准型的题目200032023此矩阵特征值为2时特征向量为什么是100.我怎么觉的是000呢?
二次型化标准型的题目
200
032
023此矩阵特征值为2时特征向量为什么是100.我怎么觉的是000呢?
二次型化标准型的题目200032023此矩阵特征值为2时特征向量为什么是100.我怎么觉的是000呢?
此时 A-2E =
0 0 0
0 1 2
0 2 1
-->
0 1 0
0 0 1
0 0 0
x1是自由未知量,取1得基础解系 (1,0,0)^T
PS.特征向量不能是0向量
当λ是特征值时,(A-λE)X=0 必有非零解.
否则特征值不对,或者方程组解错.
A=
(2 0 0)
(0 3 2)
(0 2 3)
那么，
|λE-A|=
|λ-2 0 0 |
| 0 λ-3 -2 |
| 0 -2 λ-3|
=(λ-2)*[(λ-3)^2-4]
=(λ-2)*(λ^2-6λ+9-4)
=(λ-2)*(λ^2-6λ+5)
=(λ-2...
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A=
(2 0 0)
(0 3 2)
(0 2 3)
那么，
|λE-A|=
|λ-2 0 0 |
| 0 λ-3 -2 |
| 0 -2 λ-3|
=(λ-2)*[(λ-3)^2-4]
=(λ-2)*(λ^2-6λ+9-4)
=(λ-2)*(λ^2-6λ+5)
=(λ-2)*(λ-1)*(λ-5)
由此，得到特征值：2,1,5
对于λ=2，矩阵为：
(0 0 0)
(0 -1 -2)
(0 -2 -1)
→
(0 0 0)
(0 1 0)
(0 0 1)
即有方程组：
x1=x1
x2=0
x3=0
自然有基础解系为a1=(1,0,0)^T，这就是属于λ=2特征向量
对于λ=1，矩阵为：
(-1 0 0)
(0 -2 -2)
(0 -2 -2)
→
(1 0 0)
(0 1 1)
(0 0 0)
即有方程组：
x1=0
x2=-x3
x3=x3
自然有基础解系为a2=(0,-1,1)^T，这就是属于λ=1特征向量
对于λ=5，矩阵为：
(3 0 0)
(0 2 -2)
(0 -2 2)
→
(1 0 0)
(0 1 -1)
(0 0 0)
即有方程组：
x1=0
x2=x3
x3=x3
自然有基础解系为a3=(0,1,1)^T，这就是属于λ=5特征向量
明显，向量组{a1,a2,a3}已经正交，只需要单位化：
ε1=(1,0,0)^T
ε2=(0,-1/√2,1/√2)^T
ε3=(0,1/√2,1/√2)^T
构造U=(ε1 ε2 ε3)
则有：
U^T*A*U=
(2 0 0)
(0 1 0)
(0 0 5)
=diag(2 1 5)
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