设a为实数,函数f(x)=x²+|x-a|+1,x∈R（1）讨论f(x)的奇偶性（2）求f(x)的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 22:31:54
设a为实数,函数f(x)=x²+|x-a|+1,x∈R（1）讨论f(x)的奇偶性（2）求f(x)的最小值
设a为实数,函数f(x)=x²+|x-a|+1,x∈R
（1）讨论f(x)的奇偶性
（2）求f(x)的最小值
设a为实数,函数f(x)=x²+|x-a|+1,x∈R（1）讨论f(x)的奇偶性（2）求f(x)的最小值
设a为实数,函数f(x)=x²+|x-a|+1,x∈R
（1）讨论f(x)的奇偶性
a=0,f(x)为偶函数,a不等于零,f(x)非奇非偶
（2）求f(x)的最小值
x>=a f(x)=x²+|x-a|+1=x^2+x-a+1=(x+1/2)^2-a+3/4
x0 f(x)的最小值=-a+3/4
a
1) f(x) – f(-x) = x2+|x-a| + 1 – (x2 + |x-a| + 1)
=|x-a|-|x+a|
这个式子只有在a=0的时候才恒等于0
f(x) + f(-x) = 2x2 + |x-a|+|x+a|+2
这个式子大于等于2，永远不可能为0
因此，a=0的时候f(x)是偶函数，其他情况f(x)非奇非偶。
2）通过...
全部展开
1) f(x) – f(-x) = x2+|x-a| + 1 – (x2 + |x-a| + 1)
=|x-a|-|x+a|
这个式子只有在a=0的时候才恒等于0
f(x) + f(-x) = 2x2 + |x-a|+|x+a|+2
这个式子大于等于2，永远不可能为0
因此，a=0的时候f(x)是偶函数，其他情况f(x)非奇非偶。
2）通过x的取值区间把绝对值去掉，得到
f(x) = x2+x-a+1 = (x-1/2)2 –a + 3/4 x>a 1)
f(x) = x2-x+a+1 = (x+1/2)2 +a + 3/4 x<=a 2)
当a<= -1/2 时，1式的f(x)min = f(1/2) =-a + 3/4
2 式的f(x)min = f(a)= a2+1
比较两个最小值综合起来 f(x)min = -a + 3/4
当0>=a>-1/2时，1式的f(x)min = f(1/2) =-a + 3/4
2式的f(x)min = f(-1/2) = a+ 3/4
比较两个最小值综合起来f(x)min = a + 3/4
当1/2>=a>0时，1式的f(x)min = f(1/2) =-a + 3/4
2式的f(x)min = f(-1/2) = a+ 3/4
比较两个最小值综合起来f(x)min = -a + 3/4
当a>= 1/2 时，1式的f(x)min = f(a) = a2++2a+1
2 式的f(x)min = f(-1/2)= =a + 3/4
比较两个最小值综合起来 f(x)min = a + 3/4
因此最终当a<= -1/2 时，f(x)min = -a + 3/4
当0>=a>-1/2时，f(x)min = a + 3/4
当1/2>=a>0时，f(x)min = -a + 3/4
当a>= 1/2 时，f(x)min = a + 3/4
百度上也有其他解法，但是我认为那个解法考虑的不够周全，他的解法每次都只考虑了其中的一种情况，如x>a而没有把x
收起