在锐角三角形ABC中,求证tanAtanBtanC>1.

在锐角三角形ABC中,求证tanAtanBtanC>1.
在锐角三角形ABC中,求证tanAtanBtanC>1.

在锐角三角形ABC中,求证tanAtanBtanC>1.
首先证明这样一个结论
:三角形ABC tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC
证明如下
tanA=tan(∏-B-C)=-tan(B+C)=
-(tanB+tanC)/(1-tanBtanC)
=（tanB+tanC)/(tanBtanC-1)
所以 tanA*(tanBtanC-1)=tanB+tanC
tanA*tanB*tanC - tanA=tanB+tanC
所以tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC
要证明 tanAtanBtanC>1 只要证明 tanA+tanB+tanC>1 即可
因为ABC是锐角三角形,所以A,B,C都大于0,小于90度,
所以tanA>0,tanB>0,tanC>0
又因为,三角形中至少有一个角大于或等于60度（反证法,否则内角和小于180度）,不妨设是角A,
所以tanA>根号3,又tanB>0,tanC>0
所以tanA+tanB+tanC> 根号3 >1
所以tanAtanBtanC>1.

首先证明这样一个结论
:三角形ABC tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC
证明如下
tanA=tan(∏-B-C)=-tan(B+C)=
-(tanB+tanC)/(1-tanBtanC)
=（tanB+tanC)/(tanBtanC-1)
所以 tanA*(tanBtanC-1)=tanB+tanC
tanA*tanB*...

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首先证明这样一个结论
:三角形ABC tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC
证明如下
tanA=tan(∏-B-C)=-tan(B+C)=
-(tanB+tanC)/(1-tanBtanC)
=（tanB+tanC)/(tanBtanC-1)
所以 tanA*(tanBtanC-1)=tanB+tanC
tanA*tanB*tanC - tanA=tanB+tanC
所以tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC

要证明 tanAtanBtanC>1 只要证明 tanA+tanB+tanC>1 即可
因为ABC是锐角三角形，所以A,B,C都大于0，小于90度，
所以tanA>0,tanB>0,tanC>0
又因为，三角形中至少有一个角大于或等于60度（反证法，否则内角和小于180度），不妨设是角A,
所以tanA>根号3,又tanB>0,tanC>0
所以tanA+tanB+tanC> 根号3 >1
所以tanAtanBtanC>1.

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提示：∵A、B、C为锐角 ∴tanA>0，tanB>0，tanC>0
又∵A+B=∏-C ∴tan(A+B)=tanA+tanB/(1-tanAtanB)=-tanC
即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
∵tanA+tanB+tanC>=3 (tanAtanBtanC)^(3/2)
∴tanAtanBtanC>=3 (tanAtanBtanC)^(-3)
∴tanAtanBtanC>=3^3/2>1

tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC=tan(pai-c)(1-tanAtanB)+tanC=-tanC(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC=R
均值定理
R/3≥三次根号下R
R^3≥27R
R^2≥27
R=tanAtanBtanC≥根号下3>1

因为tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC=tan(pai-c)(1-tanAtanB)+tanC=-tanC(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC
事实上：对任意三角形独都有这个结论
下证明：
对于锐角三角形,由均值不等式,得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC <=[(tanA...

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因为tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC=tan(pai-c)(1-tanAtanB)+tanC=-tanC(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC
事实上：对任意三角形独都有这个结论
下证明：
对于锐角三角形,由均值不等式,得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC <=[(tanA+tanB+tanC)/3]^3,
即：tanA+tanB+tanC>=3倍的根号3.
所以：tanAtanBtanC>=3倍的根号3>1
希望你满意!

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