正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,AE,BF交于点P 求证:AD=PD
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 11:35:52
正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,AE,BF交于点P 求证:AD=PD
正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,AE,BF交于点P 求证:AD=PD
正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,AE,BF交于点P 求证:AD=PD
证明：
取AB的中点G,连接DG,交AE于H
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=CD,∠ABE=∠BCF=90º
∵E,F分别是BC,CD的中点
∴BE=CF
∴⊿ABE≌⊿BCF（SAS）
∴∠BAE=∠CBF
∵∠BAE+∠BEA=90º
∴∠APB=∠CBF+∠BEP=90º
∵BG=DF,BG//DF
∴四边形BFDG是平行四边形
∴BF//GD
∴∠AHG=∠APB=90º
∵AG=BG
∴AH=PH【平行线等分线段定理】
∴DG垂直平分AP
∴AD=PD【垂直平分线上的点到线段两端的距离相等】
设O是ABCD中心，AE绕O逆时针旋转90º，到达BF.AE绕O顺时针旋转90º，到达DM.M∈AB 则AM＝MB ﹙∵BE＝EC﹚ MD⊥AE BF⊥AE ∴DM∥BF ∴AN.＝NP,N＝AE∩DM [∵AM＝MB 及 平行线定理 ] MD是AP的中垂线，AD＝PD.[ 中垂线定理 ]
令H为AB的中点，连接DH交AE于G。
△ABE与△BCF中，AB = BC，BE = CF，角ABC = 角BCD = 90°。因此△ABE≌△BCF。因此∠BAE = ∠CBF。又∠CBF+∠ABF = 90°，所以∠BAE+∠ABF = 90°。所以∠APB = 90°。由此得出BF⊥AE。
同理可得DH⊥AE，所以DH∥BF。
因H平分AB，所以AH = HB，所以...
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令H为AB的中点，连接DH交AE于G。
△ABE与△BCF中，AB = BC，BE = CF，角ABC = 角BCD = 90°。因此△ABE≌△BCF。因此∠BAE = ∠CBF。又∠CBF+∠ABF = 90°，所以∠BAE+∠ABF = 90°。所以∠APB = 90°。由此得出BF⊥AE。
同理可得DH⊥AE，所以DH∥BF。
因H平分AB，所以AH = HB，所以AG = GP。
在△ADG与△PDG中，DG共边，∠DGA = ∠DGP = 90°，AG = GP，所以△ADG与△PDG对称，因此AD = PD。
收起
延长BF交AD延长线于G，则△BCF全等于△GDF,所以GD=BC=AD,
△ABE全等于△BCF，则∠AEB=∠BFC,又∠BCF+∠CBF=90°，
所以∠AEB+∠CBF=90°，所以∠APF=90°，由于GD=AD
所以PD=AG/2=AD(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
即AD=PD