张老师出示了问题：如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点．∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F,求证：AE=EF．经过思考,小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M,连接ME,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 23:05:51
张老师出示了问题：如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点．∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F,求证：AE=EF．经过思考,小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M,连接ME,
张老师出示了问题：如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点．∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F,求证：AE=EF．
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证△AME≌△ECF,所以AE＝EF．
在此基础上,同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B,C外）的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程；如果不正确,请说明理由；
（2）小华提出：如图3,点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程；
张老师出示了问题：如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点．∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F,求证：AE=EF．经过思考,小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M,连接ME,
25．（1）正确． ……1分
证明：在AB上取一点M,使AM＝EC,连接ME．
∴BM＝BE．∴∠BME＝45°.∴∠AME＝135°．
∵CF是外角平分线,
∴∠DCF＝45°.∴∠ECF＝135°．
∴∠AME＝∠ECF． ……3分
∵∠AEB＋∠BAE＝90°,∠AEB＋CEF＝90°,
∴∠BAE＝∠CEF． ……5分
∴△AME≌△BCF（ASA）． ……6分
∴AE＝EF．
（2）正确． ……7分
证明：在BA的延长线上取一点N,使AN＝CE,连接NE．
∴BN＝BE． ……8分
∴∠N＝∠FCE＝45°. ……9分
四边形ABCD是正方形,
∴AD‖BE．
∴∠DAE＝∠BEA．
∴∠NAE＝∠CEF． ……10分
∴△ANE≌△ECF（ASA）． ……11分
∴AE＝EF． ……12分