证明已过抛物线的焦点的弦为直径的圆和抛物线的准线相切

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/16 21:49:27
证明已过抛物线的焦点的弦为直径的圆和抛物线的准线相切证明已过抛物线的焦点的弦为直径的圆和抛物线的准线相切证明已过抛物线的焦点的弦为直径的圆和抛物线的准线相切如图,设F为抛物线的焦点,l为抛物线的准线,

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证明已过抛物线的焦点的弦为直径的圆和抛物线的准线相切

证明已过抛物线的焦点的弦为直径的圆和抛物线的准线相切
如图,设F为抛物线的焦点,l为抛物线的准线,
AB为抛物线的一条焦点弦,M为AB的中点,
过A、B、M分别作准线的垂线,垂足分别为E、C、D,
则由抛物线的定义知:
|AE|=|FA|,|BC|=|FB|,
∴|AB|=|FA|+|FB|,
即|AB|=|AE|+|CD|,
又由梯形的中位线性质知:
|MD|=1 /2 (|AE|+|CD|),
∴|MD|=1 /2 |AB|,
即以弦AB为直径的圆的圆心M到准线l的距离
等于半径,即以弦AB为直径的圆与准线l相切.
所以,以过抛物线的焦点的弦为直径的圆和抛物线的准线相切.

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