如何证明1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2 成立
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 07:41:52
如何证明1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2成立如何证明1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2成立如何证明1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
如何证明1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2 成立
如何证明1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2 成立
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1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
这个会不会,求原式要用到的.
(1+1)^4=1^4+4×1^3+6×1^2+4×1^1+1
(2+1)^4=2^4+4×2^3+6×2^2+4×2^1+1
(3+1)^4=3^4+4×3^3+6×3^2+4×3^1+1
……
(n+1)^4=n^4+4×n^3+6×n^2+4×n^1+1
上式相加,左右两边的2^4,3^4,4^4,……n^4可以消去
(n+1)^4=1^4+4×(1^3+2^3+3^3+……+n^3)+6×(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+4×(1+2+3+……+n)+n
设A=1^3+2^3+3^3+……+n^3
(n+1)^4=n^4+4×n^3+6×n^2+4×n^1+1=1+4A+6×n(n+1)(2n+1)/6+4×n(n+1)/2+n
化简得A=[n(n+1)/2]^2
求1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6方法是一样的,把(n+1)^3展开相加.
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