dy/ dx +2y=x*e^x的通解,

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2025/02/01 14:46:32

dy/dx+2y=x*e^x的通解,dy/dx+2y=x*e^x的通解,dy/dx+2y=x*e^x的通解,一阶线性常系数,可以有两种方法第一种,设函数u=u(x),与原式子相乘,使得等式左边=d(u

dy/ dx +2y=x*e^x的通解,
dy/ dx +2y=x*e^x的通解,

dy/ dx +2y=x*e^x的通解,
一阶线性常系数,可以有两种方法
第一种,设函数u=u(x),与原式子相乘,使得等式左边=d(uy)/dx
uy'+2uy=uxe^x
由乘法法则可得du/dx=2u
du/u=2dx
∫du/u=∫2dx
u=e^(2x)（只需求一个特解就可）
原方程写为
d[y*e^(2x)]/dx=x*e^(3x)
分离变量积分
ye^(2x)=∫x*e^(3x)dx=1/3*xe^(3x)-1/3∫e^(3x)dx=1/3*x*e^(3x)-1/9*e^(3x)+C
y=1/3*xe^x-1/9*e^x+Ce^(-2x)
第二种
先求出齐次方程的通解
y'+2y=0
分离变量或用待定系数都可得到
y#(以示区分)=Ae^(-2x)
然后用常数变易法,设A=A(x)
A'e^(-2x)-2e^(-2x)*A+2e^(-2x)*A=xe^x
A'=xe^(3x)
A=∫xe^(3x)dx=（同上面）=1/3*xe^(3x)-1/9*xe^(3x)+C
y=Axe^(-2x)=（同第一种情况）

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