求证：不论n为怎样的自然数,n(n+1)(2n+1)/6的计算结果都是整数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/01 17:55:33
求证：不论n为怎样的自然数,n(n+1)(2n+1)/6的计算结果都是整数
求证：不论n为怎样的自然数,n(n+1)(2n+1)/6的计算结果都是整数
求证：不论n为怎样的自然数,n(n+1)(2n+1)/6的计算结果都是整数
列举法,找规律
当n为
1,n(n+1)(2n+1）=6*1=6*1
2,n(n+1)(2n+1)=6*5=6*(1+2^2)
3,n(n+1)(2n+1)=6*14=6*(1+2^2+3^2)
4,n(n+1)(2n+1)=6*30=6*(1+2^2+3^2+4^2)
……
因此,无论n为怎样的自然数,n(n+1)(2n+1)都是6的倍数,n(n+1)(2n+1)/6的结果都是整数.
n(n+1)一定是偶数，没问题吧？因此n(n+1)(2n+1)也必是偶数！
再证n(n+1)(2n+1)能被3整除：所有自然数课分为3k，3k+1，3k+2，对吧？将这三者代入n(n+1)(2n+1)，发现都能被3整除，因此n为自然数时n(n+1)(2n+1)能被3整除！
综上所述，n(n+1)(2n+1)/6必是整数！
证毕！...
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n(n+1)一定是偶数，没问题吧？因此n(n+1)(2n+1)也必是偶数！
再证n(n+1)(2n+1)能被3整除：所有自然数课分为3k，3k+1，3k+2，对吧？将这三者代入n(n+1)(2n+1)，发现都能被3整除，因此n为自然数时n(n+1)(2n+1)能被3整除！
综上所述，n(n+1)(2n+1)/6必是整数！
证毕！
收起
这种题要用数学归纳法的吧
先n=1时 求出结果 成立
当n=k时，原式=k(k+1)(2k+1)= 2k^3 +3k^2 +k
n=k+1时，原式=（k=1）（k+2）（2k+3)=2k^3 +3k^2 +k+ 6k^2+12k+6
后面的部分6k^2+12k+6一定能够被6整除
所以成立
这种证明方法过程中好像要写清楚什么的，我忘了…提供下思路，过...
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这种题要用数学归纳法的吧
先n=1时 求出结果 成立
当n=k时，原式=k(k+1)(2k+1)= 2k^3 +3k^2 +k
n=k+1时，原式=（k=1）（k+2）（2k+3)=2k^3 +3k^2 +k+ 6k^2+12k+6
后面的部分6k^2+12k+6一定能够被6整除
所以成立
这种证明方法过程中好像要写清楚什么的，我忘了…提供下思路，过程还要LZ补全的
收起
n(n+1)(2n+1)/6是一个公式 1＾2+2＾2+......n＾2
因为每一项都为整数 所以结果必为整数....