救命.简单高中平面几何题.设平行四边形ABCD即非矩形也非菱形,以AC为直径作一园分别与直线AB,AD交于另一点E,F.求证,直线EF,BD以及园的过C点的切线共点.-----------------------------------------------------

救命.简单高中平面几何题.设平行四边形ABCD即非矩形也非菱形,以AC为直径作一园分别与直线AB,AD交于另一点E,F.求证,直线EF,BD以及园的过C点的切线共点.-----------------------------------------------------
救命.简单高中平面几何题.
设平行四边形ABCD即非矩形也非菱形,以AC为直径作一园分别与直线AB,AD交于另一点E,F.求证,直线EF,BD以及园的过C点的切线共点.
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先问这一题,若有高人再问.寒假作业,救救俺吧TOT.

救命.简单高中平面几何题.设平行四边形ABCD即非矩形也非菱形,以AC为直径作一园分别与直线AB,AD交于另一点E,F.求证,直线EF,BD以及园的过C点的切线共点.-----------------------------------------------------
既然是高中的题,就用高中的方法解决吧. 
先作以下约定：向量AB表示为[AB](A为起点B为终点),其大小表示为|AB|,两个向量的数量积表示为[a]*[b]. 
令[AB]=[a],[AD]=[b].分别延长FE,DB,两者相交于点P,连结PC,要证直线EF,BD以及圆的过C点的切线共点,只需证PC与以AC为直径的圆相切,这是因为过圆上一点的切线只能有一条,这种方法叫做同一法.连结CE,CF,因为AC为直径,故 
[CF]⊥[AD],[CE]⊥[AB],设[AE]=λ[a],[AF]=μ[b](点E,F分别在AB,AD上),则[CE]=[AE]-[AC]=λ[a]-([b]+[a])=(λ-1)[a]-[b], 
[CF]=[AF]-[AC]=μ[b]-([b]+[a])=(μ-1)[b]-[a], 
而[CF]⊥[AD],[CE]⊥[AB],故[CE]*[AB]=(λ-1)[a]^2-[a]*[b]=0, 
[CF]*[AD]=(μ-1)[b]^2-[a]*[b]=0,解得λ=([a]*[b])/|a|^2+1, 
μ=([a]*[b])/|b|^2+1,(由平行四边形ABCD即非矩形也非菱形得|a|≠|b|且[a]*[b]≠0,故λ-μ≠0)根据Menelaus定理(其证明见下面的注)有, 
(|AF|/|FD|)*(|PD|/|PB|)*(|BE|/|EA|)=1,即 
(μ/(1-μ))*(|PD|/|PB|)*((1-λ)/λ)=1, 
|PD|/|PB|=1+|BD|/|PB|=(λ(1-μ))/(μ(1-λ)), 
|BD|/|PB|=(λ-μ)/(μ(1-λ)), 
从而[PB]=((μ(1-λ))/(λ-μ))[BD]=((μ(1-λ))/(λ-μ))([b]-[a]), 
[PD]=[PB]+[BD]=((μ(1-λ))/(λ-μ))([b]-[a])+([b]-[a])= 
(λ(1-μ)/(λ-μ))([b]-[a]), 
[PC]=[PD]+[DC]=[PD]+[AB]=(λ(1-μ)/(λ-μ))([b]-[a])+[a]= 
(μ(λ-1)/(λ-μ))[a]+(λ(1-μ)/(λ-μ))[b],以下只需证[PC]*[AC]=0, 
即证(μ(λ-1)[a]+λ(1-μ)[b])*([a]+[b])=0,而 
(μ(λ-1)[a]+λ(1-μ)[b])*([a]+[b]) 
=μ(λ-1)[a]^2+λ(1-μ)[b]^2+μ(λ-1)[a]*[b]+λ(1-μ)[b]*[a] 
=μ[a]*[b]-λ[a]*[b]+λ[a]*[b]-μ[a]*[b] 
=0(只需把以上得到的λ,μ关于[a],[b]的表达式代入即可), 
故[PC]⊥[AC],PC与以AC为直径的圆相切,直线EF,BD以及圆的过C点的切线共点.证毕. 
注(Menelaus定理的证明)：其证明不下于几十种,现用正弦定理证明如下 
(|AF|/|FD|)*(|PD|/|PB|)*(|BE|/|EA|) 
=(|AF|/|EA|)(|PD|/|FD|)(|BE|/|PB|) 
=(sin∠AEF/sin∠AFE)(sin∠PFD/sin∠DPF)(sin∠BPE/sin∠BEP) 
=(sin∠AEF/sin∠PFD)(sin∠PFD/sin∠DPF)(sin∠DPF/sin∠AEF)=1.证毕. 
如果您对以上方法不满意而一定要用初中的方法,那么我只能打个不恰当的比方： 
如果可以乘火箭到月球,那么又何必骑自行车到月球； 
如果可以用弹簧把火箭发射上天,那么又何必用氢燃料?（不好意思,图画错了,把图中E,F位置调换一下.）

是 CF垂直AB CE垂直AD