方阵A满足A^2-2A-3E=0,证明A+2E可逆,并求其逆.证明：由A^2-2A-3E=0,知(A+2E)(A-4E)=-5E,故A+2E可逆,且(A+2E)^-1=1/5(4E-A).为什么要凑成这样“(A+2E)(A-4E)=-5E,故A+2E可逆,”做.怎么样就证明了A+2E可逆.

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/31 02:51:37

方阵A满足A^2-2A-3E=0,证明A+2E可逆,并求其逆.证明：由A^2-2A-3E=0,知(A+2E)(A-4E)=-5E,故A+2E可逆,且(A+2E)^-1=1/5(4E-A).为什么要凑成

方阵A满足A^2-2A-3E=0,证明A+2E可逆,并求其逆.证明：由A^2-2A-3E=0,知(A+2E)(A-4E)=-5E,故A+2E可逆,且(A+2E)^-1=1/5(4E-A).为什么要凑成这样“(A+2E)(A-4E)=-5E,故A+2E可逆,”做.怎么样就证明了A+2E可逆.
方阵A满足A^2-2A-3E=0,证明A+2E可逆,并求其逆.
证明：由A^2-2A-3E=0,知(A+2E)(A-4E)=-5E,故A+2E可逆,且(A+2E)^-1=1/5(4E-A).为什么要凑成这样“(A+2E)(A-4E)=-5E,故A+2E可逆,”做.怎么样就证明了A+2E可逆.

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因为 (A+2E)(A-4E)=-5E
右边是可逆矩阵,而且可以写成左边的两个矩阵的乘积,所以根据矩阵乘积的rank（秩）小于等于各乘数矩阵rank的最小值这一原理,左边的两个矩阵都是满秩的,即都是可逆的,故A+2E可逆,且(A+2E)^-1=1/5(4E-A).

可逆矩阵的行列式不等于0
原式两边取行列式得
|A+2E||A-4E|=|-5E|不等于0
故|A+2E|，|A-4E|不等于0
即|A+2E|可逆

若方阵A、B满足AB=E，则两边取行列式可知
|A||B|=|AB|=|E|=1
因此|A|、|B|均不为零，从而A,B均可逆。
由逆阵的唯一性知A=B^（-1），B=A^(-1)

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