如图,在△ABC中,AB=AC=8,BC=4,点D在边AB上,点E在线段CD上,且∠BEC=∠ACB,BE的延长线与边AC相交于点F.（1）求证：BE·CD=BD·BC；(2)设AD=x,AF=y,求y关于x的解析式,并写出定义域；（3）如果AD=4,求线段BF的长.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 14:45:16
如图,在△ABC中,AB=AC=8,BC=4,点D在边AB上,点E在线段CD上,且∠BEC=∠ACB,BE的延长线与边AC相交于点F.（1）求证：BE·CD=BD·BC；(2)设AD=x,AF=y,求y关于x的解析式,并写出定义域；（3）如果AD=4,求线段BF的长.
如图,在△ABC中,AB=AC=8,BC=4,点D在边AB上,点E在线段CD上,且∠BEC=∠ACB,BE的延长线与边AC相交于点F.
（1）求证：BE·CD=BD·BC；
(2)设AD=x,AF=y,求y关于x的解析式,并写出定义域；
（3）如果AD=4,求线段BF的长.
如图,在△ABC中,AB=AC=8,BC=4,点D在边AB上,点E在线段CD上,且∠BEC=∠ACB,BE的延长线与边AC相交于点F.（1）求证：BE·CD=BD·BC；(2)设AD=x,AF=y,求y关于x的解析式,并写出定义域；（3）如果AD=4,求线段BF的长.
（1）证明：∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵∠BEC=∠ACB,
∴∠BEC=∠ABC．
又∵∠BCE=∠DCB,
∴△CBE∽△CDB．
∴ CB/CD=BE/DB．
即BE•CD=BD•BC．
∵△CBE∽△CDB,
∴∠CBE=∠CDB．
又∵∠FCB=∠CBD．
∴△FCB∽△CBD．
∴ FC/CB=CB/BD,
∵BD=AB﹣AD=12﹣x,
∴ FC/6=6/(12-X),
∴FC=36/(12-X)
∵AF=AC﹣CF,
∴ Y=12-36/(12-X),
∴y关于x的函数解析式是Y=(108-12X)/（12-X） ,定义域为0≤x≤9．
过点A、F分别作AG⊥BC、FH⊥BC,垂足分别为G、H
∴ COS∠ACG=CH/CF=CG/AC,
∵AD=3,CF=36/(12-3)=4,CG=1/2 BC=3 ．
∴ CH/4=3/12,
∴CH=1．
∴FH2=CF2﹣CH2=16﹣1=15．
∵BH=BC﹣CH=6﹣1=5,
∴BF=√(BH2+FH2) =√(25+15)=2√10．
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