试证明：连续k个正整数之积,必然被k!整除.（别抄网上的许多错误证法,运用高中竞赛及以下内容）

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/15 17:48:46

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n+1到n+k这k个数里面,任意质数p的因子重数为
[(n+k)/p]-[n/p]+[(n+k)/p^2]-[n/p^2]+[(n+k)/p^3]-[n/p^3]+. (把p的次数无限提高,求和)
函数[x]代表不超过x的最大整数,即向下取整函数.
1到k这k个数里面,任意质数p的个数为
[k/p]+[k/p^2]+[k/p^3]+.
因为向下取整函数的性质：对任意实数x,y,都有[x]+[y]=[k/p]
[(n+k)/p^2]-f(n/p^2)>=[k/p^2]
[(n+k)/p^3]-[n/p^2]>=[k/p^3]
.
因此一求和,(n+1)*...*(n+k)里面的p因子重数总是不比k!里的少.
因为这个关系对任意质数p都成立,分析下质因数分解可知,所以就能整除了.

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