证明不等式：x大于0 时,e^x大于ex

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/22 10:13:49

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证明不等式：x大于0 时,e^x大于ex
证明不等式：x大于0 时,e^x大于ex

证明不等式：x大于0 时,e^x大于ex
令 y=e^x-ex
则
求导
得到
y'=e^x-e
令y'=0
得到
x=1
所以
在(0,1)是减区间
在(1,＋∞)是增区间 y的最小值是 x=1时也就是y min=e^1-e=0
所以
y始终>0
也就是
e^x>ex

题目本身有问题。
x=1时，e^x=e ex=e，是相等的。
x>1时，不等式是成立的。
证：
令f(x)=e^x-ex
x=1时，f(x)=0
f'(x)=e^x-e
x>1时，f'(x)>e-e=0,即对于任意>1的x，f(x)单调递增，即有
x>1时，f(x)>f(1)=0
e^x-ex>0
e^x>ex

x=1时，e^x=e ex=e，是相等的。
x>1时，不等式是成立的。
证：
令f(x)=e^x-ex
x=1时，f(x)=0
f'(x)=e^x-e
x>1时，f'(x)>e-e=0,即对于任意>1的x，f(x)单调递增，即有
x>1时，f(x)>f(1)=0
e^x-ex>0
e^x>ex

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