求证 ①A是n阶矩阵,则|A*|= |A|的n-1次方 ②A是n阶可逆矩阵,则|A-1|=|A|-1 (-1是次方 A的上标)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/12 14:58:36
求证 ①A是n阶矩阵,则|A*|= |A|的n-1次方 ②A是n阶可逆矩阵,则|A-1|=|A|-1 (-1是次方 A的上标)
求证 ①A是n阶矩阵,则|A*|= |A|的n-1次方 ②A是n阶可逆矩阵,则|A-1|=|A|-1 (-1是次方 A的上标)
求证 ①A是n阶矩阵,则|A*|= |A|的n-1次方 ②A是n阶可逆矩阵,则|A-1|=|A|-1 (-1是次方 A的上标)
第1题请看图片:
第2题
由 AA^(-1) = E
等式两边取行列式得
| AA^(-1)| = |E |
所以 |A| |A^(-1)| = 1
所以 |A^(-1)| = 1/|A| = |A|^(-1).
AA*|=|A|^n（^表示幂）是怎么得到的？
你看一下线代的教课书，对A*的定义就知道了。
(1)证明：由性质知，A A*=|A| En
所以对两边同时求行列式 | A A*|=||A| En|
|A||A*|=|A^n||E|（这一步我解释一下，因为|A|表示一个行列式的值，故对|A| En求行列式的时候，|A|作为常数，有||A| En|=...
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(1)证明：由性质知，A A*=|A| En
所以对两边同时求行列式 | A A*|=||A| En|
|A||A*|=|A^n||E|（这一步我解释一下，因为|A|表示一个行列式的值，故对|A| En求行列式的时候，|A|作为常数，有||A| En|=|A^n||E|）有性质|kA|=k^n|A|
即 |A*|=|A^(n-1)|
（2）证明：∵ A-1=A*/|A| (-1表示逆)
取行列式 |A-1|=|A*|/|A|
=|A*|/(|A|^n)
有（1）证得， |A*|=|A^(n-1)|
∴ |A-1|=(|A|-(n-1))/(|A|^n)
=|A|-1
收起
AA*=|A|E（E单位矩阵）,|AA*|=|A|^n（^表示幂）
|AA*|=|A||A*|
可逆时，A^-1=(1/|A|)A*
其他就好做了。