求y''-y=x的通解
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 04:27:42
求y''-y=x的通解
求y''-y=x的通解
求y''-y=x的通解
∵齐次方程y''-y'=0的特征方程是r2-r=0
则特征根是r1=0,r2=1
∴齐次方程的通解是y=(C1x+C2)e^x (C1,C2是积分常数)
设原微分方程的一个特解是y=Ax2+Bx
代入原微分方程得2A-B-2Ax=x
比较两端x的同次幂系数,得2A-B=0.(1)
-2A=1.(2)
接方程组(1)(2),得A=-1/2,B=-1
则原微分方程的一个特解是y=-(x/2+1)x=-x(x+2)/2
故原微分方程的通解是y=(C1x+C2)e^x-(x+2)x/2 (C1,C2是积分常数)
∵齐次方程y''-y=0的特征方程是r²-1=0，则r=±1
∴齐次方程y''-y=0的通解是 y=C1e^x+C2e^(-x) (C1,C2是积分常数)
∵设原方程的特解是 y=Ax+B
代入原方程得 -Ax-B=x ==>A=-1，B=0
∴原方程的特解是 y=-x
...
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∵齐次方程y''-y=0的特征方程是r²-1=0，则r=±1
∴齐次方程y''-y=0的通解是 y=C1e^x+C2e^(-x) (C1,C2是积分常数)
∵设原方程的特解是 y=Ax+B
代入原方程得 -Ax-B=x ==>A=-1，B=0
∴原方程的特解是 y=-x
故原微分方程的通解是 y=C1e^x+C2e^(-x)-x (C1,C2是积分常数)。
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二楼的解法和答案都是正确的！可以把其答案代入原方程进行检验：
原微分方程的通解是 y=C₁e^x+C₂e^(-x)-x (C₁,C₂是积分常数)，
y′=C₁e^x-C₂e^(-x)-1
y〃=C₁e^x+C₂e^(-x)
故左边=y〃-y=C₁e^x+C&...
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二楼的解法和答案都是正确的！可以把其答案代入原方程进行检验：
原微分方程的通解是 y=C₁e^x+C₂e^(-x)-x (C₁,C₂是积分常数)，
y′=C₁e^x-C₂e^(-x)-1
y〃=C₁e^x+C₂e^(-x)
故左边=y〃-y=C₁e^x+C₂e^(-x)-[C₁e^x+C₂e^(-x)-x]=x=右边
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