已知n属整数,且n>1,用放缩法证明1+1/根号2+1/根号3+…+1/根号n>根号n
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 10:59:07
已知n属整数,且n>1,用放缩法证明1+1/根号2+1/根号3+…+1/根号n>根号n
已知n属整数,且n>1,用放缩法证明1+1/根号2+1/根号3+…+1/根号n>根号n
已知n属整数,且n>1,用放缩法证明1+1/根号2+1/根号3+…+1/根号n>根号n
因为n为整数,且n>1,所以当 m 为整数,且 m < n 时,
有 根号m < 根号n ,即 1/根号m > 1/根号n,因此：
1+1/根号2+1/根号3+…+1/根号n > 1/根号n + 1/根号n + 1/根号n +...+ 1/根号n = n*1/根号n = 根号n
先证不等式--根号k大于k/根号k+1（k大于0），只要平方移项即可证明
回到原式，应用上面不等式，则1大于1/根号2，加上1/根号2为根号2，根号2大于2/根号3，加上1/根号3为根号3...以此类推即得证。
∵1/√n=2/2√n
﹥2/(√n+√n+1)
=2(√n+1-√n)
∴原式﹥2（√2-√1+√3-√2+……+√n+1-√n）
=2(√n+1-1）﹥√n
sqrt(1)=1
sqrt(k)-sqrt(k-1)<=1/sqrt(k)，
k从2取到n，
累加即得
前面的式子大于等于1／根号n+1／根号n+1／根号n+... ...+1／根号n（一共n个）=(1+...+1)／根号n=n／根号n=根号N 当且仅当N=1时等号成立 所以原题得证
∵1/√n>2/[√n+√(n+1)]=2[√(n+1)-√n)
∴左边>2(√2-√1)+2(√3-√2)+....+2[√(n+1)-√n]
=2[√(n+1)-1]
=2n/[√(n+1)+1]
>2n/(√n+√n) [n>2时 2√n>√(n+1)+1]
=√n